Работа представляет собой второе переработанное и дополненное издание труда того же названия (1954 г). В частности, включены главы, касающиеся решения статических задач, относящихся к напряженному состоянию клина. Часть этих задач была опубликована ранее в Вестниках ВИА с 1937 по 1957 гг.

В начале труда изложены методы расчета массивных сооружений, расположенных на упругом основании при статических нагрузках. Для основания принимаются разные модели, в том числе упругое полупространство, двухслойное основание, нелинейно-деформируемое полупространство и др.

Далее приведены данные, характеризующие различные виды динамических нагрузок, в том числе — сейсмических нагрузок, нагрузок от сброса воды и др. Сделана оценка эффекта отражения от жесткой и упругой преграды. Затем описан метод, разработанный автором для решения динамической задачи, для системы с двумя степенями свободы, потом с тремя и, наконец, с большим числом степеней свободы.

Принятый порядок изложения обеспечивает возможность для читателя самостоятельно изучать рассмотренные в работе методы и на основе этого делать статический и динамический расчет плотин и других массивных сооружений.

Книга может служить не только учебным пособием для слушателей ВИА и студентов других втузов, но и руководством для инженеров-проектировщиков.

Введение

Глава I. Статическая задача
§ 1.1. Метод решения
§ 2.1. Решение задачи в полиномах
§ 3.1. Применение конечных разностей
§ 4.1. Статический метод вычисления граничных условий
§ 5.1. Приведение системы уравнений к симметричному виду
§ 6.1. Упрощенный способ определения ординат функции напряжений
§ 7.1. Сравнение результатов
§ 8.1. Действие объемных сил
§ 9.1. Вычисление перемещений
§ 10.1. Перемещения границы упругого основания
§ 11.1. Пример
§ 12.1. Экспериментальное исследование напряженного состояния клина
§ 13.1. Нагрузка внутри контура клина
§ 14.1. Вычисление чисел влияния
§ 15.1. Примеры вычисления прогибов
§ 16.1. Пример построения поверхностей влияния и эпюр перемещений

Глава II. Динамические нагрузки
§ 1.2. Нагрузка при сбросе воды
§ 2.2. Сейсмические нагрузки
§ 3.2. Параметры сферической волны
§ 4.2. Отражение от жесткой преграды
§ 5.2. Коэффициент отражения плоских волн от упругой преграды

Глава III. Клин как система с двумя степенями свободы
§ 1.3. Свободные колебания
§ 2.3. Определение чисел влияния для сил
§ 3.3. Вынужденные колебания
§ 4.3. Широкий клин на жестком основании
§ 5.3. Упругий клин на упругом полупространстве
§ 6.3. Клин, ослабленный отверстием
§ 7.3. Клин в упругой среде
§ 8.3. Величина присоединенной массы
§ 9.3. Влияние начальных условий 
§ 10.3. Колебания, вызванные единичной силой
§ 11.3. Внезапная нагрузка клина
§ 12.3. Колебания, вызванные равномерным давлением
§ 13.3. Влияние запаздывания при нагружении
§ 14.3. Влияние точки приложения нагрузки
§ 15.3. Влияние продолжительности действия давления
§ 16.3. Произвольная нагрузка
§ 17.3. Сейсмическая нагрузка конечной продолжительности
§ 18.3. Определение условий для абсолютно жесткого клина
§ 19.3. Влияние импульса, передающегося по упругому основанию
§ 20.3. Динамическое противодавление
§ 21.3. Рациональный профиль сооружения
§ 22.3. Пример определения рационального профиля плотины
§ 23.3. Смещение сооружения от действия импульса при нелинейно деформируемом основании

Глава IV. Клин как система с тремя степенями свободы
§ 1.4. Составление уравнений движения
§ 2.4. Построение функций влияния
§ 3.4. Пример расчета
§ 4.4. Другая расчетная модель
§ 5.4. Поверхности влияния для реакций упругого основания
§ 6.4. Сходимость процесса
§ 7.4. Опыты с моделями
§ 8.4. Совместное действие горизонтального и вертикального импульсов
§ 9.4. Расчет на общую устойчивость
§ 10.4. Нагрузка на сооружение от сейсмической волны
§ 11.4. Пример определения расчетной нагрузки на фундамент
§ 12.4. Влияние односторонних связей

Глава V. Система с n степенями свободы
§ 1.5. Составление уравнений движения
§ 2.5. Решение уравнений движения
§ 3.5, Определение чисел влияния для перемещений
§ 4.5. Определение чисел влияния для сил
§ 5.5. Построение обобщенных поверхностей влияния
§ 6.5. Термоупругие колебания
§ 7.5. Числа влияния при термоупругих колебаниях
§ 8.5. Расчет на тепловой импульс
§ 9.5. Термоупругие колебания балки и плиты
§ 10.5. Термоупругие колебания массивного профиля
§ 11.5. Другие случаи теплового режима

Глава VI. Остаточные деформации
§ 1.6. Простейшие случаи
§ 2.6. Общий случай
§ 3.6. Графическое решение

Заключение

Введение

В инженерной практике часто встречаются конструкции и детали, которые имеют форму треугольного клина, упруго или жестко связанного с другими элементами сооружения или машины. Так, например, подпорные стенки, гравитационные плотины, стенки доков, консоли балок и плит по своей расчетной схеме могут быть представлены в виде треугольного или усеченного клина. Теория расчета таких систем на статическую нагрузку разработана довольно подробно в трудах акад. Б.Г. Галеркина, профессоров H.М. Герсеванова, Б.Н. Жемочкина, М.М. Фштоненко-Бородича, С.Г. Гутмана, B.И. Дворяшина и др. В настоящее время представляется возможным сделать инженерный расчет таких систем на статическую нагрузку с достаточной для практики степенью точности.

Большой размах строительства в нашей стране и те усовершенствования, которые неуклонно внедряются в строительное производство, ставят перед теорией новые задачи. Так, например, возникает необходимость определения усилий и деформаций сооружений, вызванных динамическими нагрузками. Динамические задачи, как известно, относятся к наиболее трудным задачам строительной механики, и для многих систем они являются еще далеко не решенными. К таким новым задачам относится и задача о колебаниях треугольного клина.

Дело в том, что известные до настоящего времени решения относятся к так называемому «узкому» клину, у которого имеется сравнительно незначительное изменение размеров поперечного сечения. Для широкого клина будем искать решение в приближенном виде. Большую услугу в этом отношении нам окажут труды акад. А.Н. Крылова, который разработал численный метод решения динамических задач для сооружений, имеющих переменную массу и жесткость. Дальнейшее развитие теории А.Н. Крылова нашло свое отражение в трудах профессоров И.М. Рабиновича, В.З. Власова, C.А. Бернштейна, О.Е. Власова, Н.И. Безухова, А.Ф. Смирнова, Б.А. Олисова и других, весьма успешно применивших этот метод для решения ряда новых, практически важных задач.

В качестве основной расчетной схемы для треугольного клина принимаем систему с конечным числом степеней свободы, что равноценно переходу к численному способу расчета. Конечно, следует иметь в виду, что численный способ даже при решении статических задач имеет недостаток, так как требует выполнения большого объема вычислений. Для динамических задач вычисления еще больше возрастают и выполняются с помощью современных счетных машин.

Особенностью некоторых задач динамики является то, что эффект действия внешних сил очень тесно связан с динамическими свойствами системы и зависит от этих свойств. Для нашей задачи в ее первом приближении мы вынуждены принять внешние силы за величины, известные и заданные по условиям задачи в пространстве и во времени.

Как известно, малые колебания любой упругой консервативной системы состоят из свободных и вынужденных колебаний. Однако основой для решения задачи о вынужденных колебаниях являются те решения, которые получаются в результате исследования свободных колебаний, вызванных начальными условиями. По этим соображениям в первую очередь необходимо исследовать свободные колебания клина, и если эта задача будет решена до конца, то переход к вынужденным колебаниям можно сделать известным способом: путем разложения внешней нагрузки по главным формам свободных колебаний.

Следует отметить, что, принимая систему с конечным числом степеней свободы за основную расчетную модель, мы тем самым допускаем принципиальное решение этой задачи. Но, как будет видно из дальнейшего, здесь встретится ряд специфических трудностей, без преодоления которых невозможно довести принципиально известное решение в общем виде до численного результата.

Расчетная модель системы с конечным числом степеней свободы имеет еще одно хорошее свойство: она позволяет широко применять метод последовательных приближений для решения задачи. Так, можно рассмотреть в качестве первого приближения систему с двумя степенями свободы и выяснить, в какой мере эта расчетная модель отражает особенности данной задачи. Затем, если потребуется, можно перейти к системе с тремя степенями свободы, потом с четырьмя и т.д. Такой путь хорош тем, что последующие приближения выполняются независимо от предыдущих и позволяют проконтролировать результаты, что очень важно при численных способах расчета. Кроме этого, сопоставляя результаты последовательных приближений, можно оценить практическую сходимость процесса.

Для практических целей очень важно получить в результате расчета картину распределения моментов, поперечных и продольных сил, возникающих в разных сечениях клина, а также исследовать влияние начальных и граничных условий на результат расчета.

Весьма интересно было бы получить наглядное представление о законе изменения усилий во времени в зависимости от единичных начальных условий, заданных в разных точках клина. Для этого можно построить обобщенные поверхности влияния для изгибающих моментов и поперечных сил в зависимости от единичных начальных условий. Такие поверхности влияния позволяют определить величину наибольшего усилия.

Задача о колебаниях клина имеет еще ту особенность, что требует разработки специального способа вычисления перемещении точек клина от единичных статических нагрузок. Эти перемещения входят в уравнение частот в качестве коэффициентов. Поэтому для составления какого уравнения нужно знать величины единичных перемещений.

Треугольный клин принято рассчитывать методом плоской задачи теории упругости, но, к сожалению, этим путем найдены решения только для нескольких случаев, в частности для случая, когда нагрузка приложена на контуре клина. Для составления же уравнения частот нам потребуется определять перемещения, вызванные нагрузкой, приложенной внутри контура клина.

Изложенные соображения показывают, что решение задачи распадается на два этапа. Сначала нужно решить вспомогательную (статическую) задачу о вычислении перемещений точек клина от единичных сил, которую целесообразно довести до составления поверхностей влияния для перемещений. Только после этого можно перейти к решению динамической задачи.

Хотя расчет сооружений на действие ударных волн взрыва представляет очень трудную задачу строительной механики, но приближенное решение ее выполнено для разнообразных случаев, возникающих на практике. В работах отечественных ученых создана теория, с помощью которой теперь представляется возможным сделать расчет значительного числа сооружений. Изучение зарубежной литературы показывает, что за границей так же большое внимание уделяется теоретическим исследованиям в области расчета сооружений на действие взрыва.

Дальнейшие исследования в этой области могут проводиться по двум направлениям: в области углубления общей теории расчета применительно к изучению задач за пределом упругости и учета нелинейных процессов движения, а также разрешения специальных задач, поставленных практикой инженерных расчетов.

Особую актуальность приобретает последнее направление, связанное с приближенным разрешением практических задач, которые очень часто вытекают из фактов, замеченных при экспериментальном изучении явления. Это направление теоретических исследований включает главным образом новые вопросы, ответы на которые нужно давать хотя бы в приближенном виде, но в кратчайший срок.

В настоящей работе указанная теория применяется для решения отдельных новых задач, имеющих важное значение для проектирующих организаций.

Как известно, при разработке теории расчета сооружений первым этапом является получение таких методов и формул, с помощью которых можно было бы определить силы и деформации, возникающие в данном сооружении от действия ударной волны. Значительно более трудным, но зато и более важным для практики является второй этап теоретических исследований, который позволяет путем теоретических расчетов определить наиболее рациональный профиль и тип сооружения или конструкции. Дело в том, что ударная волна взаимодействует с сооружением, в результате чего силы и деформации сооружения зависят не только от величины заряда, но и от конструктивных особенностей сооружения.

Импульс ударной волны, стремящийся опрокинуть сооружение, может быть несколько локализован, если удачно выбрать угол встречи между фронтом падающей волны и ограждающей плоскостью сооружения. В этом случае часть энергии взрыва будет передаваться сооружению в таком виде, который может повышать его устойчивость. Выяснить те условия, при которых повышается общая устойчивость сооружения, можно, если рассмотреть изменение эффекта действия ударной волны в зависимости от конструктивных параметров данного профиля сооружения.

Новой задачей является изучение влияния так называемого сейсмического эффекта, передающегося сооружению. Сейсмический эффект, как известно, передается через упругое основание, на котором расположено сооружение. Влияние сейсмического эффекта обычно учитывают путем добавления внешних сил, которые изменяются во времени по тому же закону, как и сейсмическая волна, проходящая по свободной поверхности грунта. Если длина фундамента невелика по сравнению с длиной сейсмической волны, то такое упрощенное решение близко согласуется с наблюдениями. Для массивных сооружений, у которых фундаменты имеют размеры того же порядка, что и длина сейсмической волны, упрощенное решение не годится. При прохождении сейсмической волны под фундаментом ее очертание должно неминуемо деформироваться, иначе условия контакта по подошве фундамента не будут соблюдаться. В результате взаимодействия между сооружением и упругим основанием происходит искажение формы очертания волны, и давление на сооружение, передающееся от упругого основания, будет иметь эпюру, обеспечивающую условия контакта между сооружением и основанием. Если сооружение рассматривается как абсолютно жесткое, то поперечная волна, соответствующая вертикальным колебаниям, должна деформироваться так, чтобы поверхность упругого основания в пределах фундамента была бы плоской. Если для упругого основания принимается модель изотропного упругого полупространства, то заранее можно утверждать, что на краю фундамента появится так называемая концентрация напряжений. В результате концентрации напряжений в сооружении происходит перераспределение усилий, в том числе изгибающих моментов и поперечных сил.

Расчет сооружений, расположенных на упругом основании на действие динамических нагрузок, представляет собой довольно сложную задачу, для которой еще не найдено точное решение.

Тем не менее для выполнения расчетов, связанных с проектированием таких сооружений, приходится применять приближенные способы, с помощью которых делается оценка их прочности и устойчивости.

Применение результатов этих исследований при выполнении практических расчетов показало, что имеется еще несколько очень важных практических вопросов, которые требуют дополнительного теоретического исследования.

К таким вопросам относятся в первую очередь задачи об определении критерия применимости простых приближенных формул, которыми будут пользоваться на практике и которые получаются из упрощенных расчетных схем.

Одним из наиболее существенных вопросов, возникающих при расчете сооружений, расположенных на упругом основании, является вопрос о том, при каких условиях можно данное сооружение рассматривать как абсолютно жесткое и при исследовании движения учитывать только податливость упругого основания. Особого доказательства не требует то положение, что динамические характеристики такой системы зависят не только от упругого основания, но также и от деформаций сооружения. Если сооружение является достаточно жестким, а упругое основание податливым, как это довольно часто бывает на практике, то влиянием деформаций сооружения можно будет пренебречь и поэтому сооружение можно рассматривать как абсолютно жесткое. В этом случае расчет сильно упрощается и можно использовать готовые формулы, не делая громоздких вычислений. Если же упругие характеристики сооружения и упругого основания являются величинами одного порядка, то рассматривать сооружение как абсолютно жесткое тело нельзя. Очень важно выработать критерий, с помощью которого можно было бы установить то предельное значение упругих характеристик, при котором сооружение можно рассматривать как абсолютно жесткое.

Для решения этой задачи необходимо проделать большую вычислительную работу, связанную с вариацией тех параметров, от которых зависит динамический эффект.

Другой новый вопрос относится к выяснению механизма передачи динамической нагрузки сооружению.

Как известно, динамический эффект зависит не только от параметров нагрузки, но также и от динамических свойств упругой системы, к которой динамическая нагрузка прикладывается.

Обычно для волновых процессов считают, что динамический эффект можно приближенно оценивать коэффициентом отражения и вести расчет сооружения с некоторым запасом на нагрузку с учетом коэффициента отражения, полученного для абсолютно жесткой преграды.

Для упругих систем такое решение является неточным, а между тем подобная задача не имеет еще решения, хотя важность ее не подлежит сомнению. 

Даже для того случая, когда падающая волна является плоской, решение, соответствующее упругой преграде, еще не сделано. Почему-то принято считать, что в акустическом приближении коэффициент отражения от упругой преграды не может быть больше двух Такое утверждение нетрудно опровергнуть, даже не делая каких-либо выкладок.

Действительно, если плоская волна постоянной интенсивности падает на упругую преграду, то в момент встречи скорость преграды равна нулю, и поэтому ее можно рассматривать как абсолютно жесткую. После начала движения преграда перемещается в ту же сторону, что и падающая волна, при этом коэффициент отражения будет меньше двух. Но затем упругая система, благодаря наличию связей, останавливается и начинает движение в обратную сторону, т. е. навстречу падающей волне. Теперь картина меняется и коэффициент отражения может быть больше двух. Для решения задачи необходимо исследовать изменение коэффициента отражения при плоских волнах в процессе колебаний треугольного клина.

Как было указано, клин располагается на упругом основании, поэтому волновой эффект может передаваться клину также и через упругое основание. Волна, проходящая по упругому основанию, вступает во взаимодействие с клином, и движение клина будет изменяться.

Для исследования динамического эффекта, передаваемого через упругое основание, представляется возможным использовать такую же расчетную схему, как и раньше, но для вычисления единичных перемещений придется решить новые дополнительные расчетные схемы, соответствующие этому типу нагрузки.

Упругое основание теперь не только участвует в колебаниях системы, но и является той средой, которая передает динамический эффект.

В этой задаче имеется особенность, которая состоит в том, что закон изменения динамического воздействия по подошве основания недостаточно выяснен, поэтому необходимо будет построить поверхности влияния для этого случая. С помощью поверхностей влияния представляется возможным определить наиболее невыгодный для практики закон распределения импульса по подошве упругого основания. Если будет найдено решение для оценки динамического эффекта, передающегося через упругое основание, то путем наложения представляется возможным учесть совместное действие всех нагрузок.

В зависимости от плотности той среды, на которой расположен упругий клин, динамический эффект будет передаваться по-разному, и при расчете необходимо учитывать время запаздывания при приложении давления к клину. В ряде случаев сначала будет прикладываться импульс, передающийся через упругое основание, и спустя некоторый интервал времени, зависящий от скоростей распространения волн, будет приложен обычный импульс, передающийся через окружающую среду. Импульс, передающийся через упругое основание, вызывает эффект, известный под названием «взвешивающего эффекта». При особо неблагоприятных условиях взвешивающий эффект может быть достаточно большим, что приведет к потере устойчивости клина. Необходимо дать оценку величины взвешивающей силы, безопасной для клина, и указать тот предельный динамический эффект, при котором взвешивание является безопасным. Указанные два воздействия вызывают движение, которое включает разные периоды колебаний. Эти воздействия приложены к клину в разные моменты времени. Поэтому определение наибольших значений смещений и сил является довольно трудоемкой, хотя принципиально и несложной задачей. Максимум смещений и максимум сил не совпадают во времени. Для их определения нужно исследовать движение системы на протяжении всего периода колебаний. Для возможности более широкого использования результатов исследования требуется разработать практический способ расчета, в котором громоздкие, хотя и несложные расчеты заменяются таблицами, с помощью которых расчет выполняется достаточно быстро. Без таблиц Использование разработанного способа расчета будет сильно затруднено, поэтому в работе должно быть уделено достаточное внимание составлению таблиц. Как известно, составление всякого рода таблиц в большинстве случаев является чисто технической вычислительной работой, но объем вычислений здесь иногда достигает больших размеров, так как кроме основной таблицы должны быть составлены вспомогательные, которые не только необходимы при составлении окончательной таблицы, но служат также для проверки правильности окончательных результатов. Окончательное внедрение в проектную практику проделанных теоретических исследований будет возможно только после достаточно подробной экспериментальной проверки. В первую очередь экспериментальным путем должны быть определены те физические постоянные, которые являются исходными для теоретических исследований. В этом отношении наиболее важными характеристиками являются те, которые относятся к упругому основанию. По этим соображениям необходимо заранее разработать методику обработки экспериментальных результатов. Это поможет в дальнейшем при проведении более глубоких экспериментальных исследований.

Из перечисленных новых вопросов, которые должны быть разрешены, видно, что данная работа посвящена главным образом практическому приложению общей теории динамического расчета к сооружениям, профиль которых имеет форму клина.