Книга посвящена одной из основных проблем современной строительной механики. В ней дается общая постановка задачи оптимального проектирования, выясняются основные понятия математического программирования и их интерпретация в задачах оптимизации типов задач и методов их решения. Рассматриваются некоторые инженерные методы оптимизации, свойства оптимальных систем наименьшей стоимости и наименьшего веса. Подробно описан разработанный автором вариант градиентного метода, учитывающий механические свойства систем и дающий хорошую сходимость. Для стальных конструкций с преобладающим изгибом развиваются элементы общей теории сечений с разделяющимися параметрами, на основе которой алгоритм оптимизации удается изложить в общем виде. Книга рассчитана на инженеров-строителей и на студентов, специализирующихся по строительной механике.

Предисловие

Лекция 1. Общие понятия теории оптимального проектирования
§ 1. Задача о наименьшем весе трехстержневой системы
§ 2. Оптимальная система со статически допустимыми усилиями
§ 3. Оптимальная статически неопределимая система
§ 4. Общая постановка задачи оптимального проектирования
§ 5. Линейная целевая функция и линейные ограничения

Лекция 2. Оптимальные фермы в множестве с заданным очертанием осей при статически допустимых усилиях
§ 1. Множество ферм с заданным очертанием
§ 2. Задача о наименьшем весе равнопрочной фермы
§ 3. О напряжениях в конструктивных стержнях
§ 4. Загружение многими нагрузками
§ 5. Некоторые свойства оптимальных систем
§ 6. Задача линейного программирования

Лекция 3. Понятие о симплекс-методе решения задачи линейного программирования
§ 1. Общие замечания
§ 2. О канонической форме задачи
§ 3. Обыкновенные и модифицированные исключения по Жордану
§ 4. Отыскание допустимого базисного решения (опорного плана)
§ 5. Отыскание оптимального опорного плана
§ 6. Иллюстративный пример
§ 7. Понятие о двойственной задаче

Лекция 4. Оптимальные системы с преобладающим изгибом со статически допустимыми усилиями при однопараметрическом задании сечений
§ 1. Работа сечений. Приближенное выражение целевой функции
§ 2. О минимизации веса системы в состоянии предельного равновесия. Задача линейного программирования
§ 3. Минимизация функции стоимости при статически допустимых усилиях. Основная функция
§ 4. Иллюстративный пример
§ 5. Определение начальных смещений в лишних связях
§ 6. Критерий существования оптимальной системы с заданным отношением высот сечений

Лекция 5. Понятие о методах математического программирования
§ 1. О выпуклости множества
§ 2. Основные понятия градиентного метода
§ 3. Прямой градиентный метод
§ 4. Пример расчета
§ 5. Метод возможных направлений
§ 6. Пример расчета

Лекция 6. Первые вариации усилий в статически неопределимой системе
§ 1. О первой вариации функционала
§ 2. Вариация момента в виде интеграла Мора. Инвариант момента
§ 3. Основная формула инварианта момента
§ 4. Первые вариации усилий
§ 5. Примеры расчета
§ 6. Пример расчета для рамы
§ 7. Теоремы о трех напряжениях и трех моментах инерции

Лекция 7. Алгоритм оптимального исчерпания запасов для статически неопределимых конструктивно-прочных ферм
§ 1. Общие замечания
§ 2. Иллюстративный пример
§ 3. Общая схема алгоритма
§ 4. О матричной форме метода сил
§ 5. Алгоритм возвращения на границу допустимой области
§ 6. Вспомогательная задача линейного программирования

Лекция 8. Теория сечений с разделяющимися параметрами. Оптимизация сечений балок и рам с преобладающим изгибом
§ 1. Сечения с разделяющимися параметрами
§ 2. Двутавровое или коробчатое сечение с заданной толщиной стенки
§ 3. Двутавровое сечение с заданной гибкостью стенки
§ 4. Об оптимальных сечениях
§ 5. Особенности алгоритма оптимального исчерпания запасов
§ 6. Пример расчета

Лекция 9. Алгоритм оптимального исчерпания запасов для статически неопределимых рам и балок
§ 1. Общая схема алгоритма оптимального исчерпания запасов
§ 2. Условия неотрицательности варьированных запасов
§ 3. Алгоритм возвращения на границу допустимой области
§ 4. Последовательность действий в алгоритме
§ 5. Пример расчета рамы
§ 6. Особенности задачи при варьировании параметров формы сечений

Лекция 10. Базисные системы в подмножестве статически неопределимых конструкций. Свойства ограничений прочности
§ 1. Представление матрицы лишних неизвестных через усилия в базисных системах
§ 2. Условия прочности элемента фермы в Х-системе. Несобственные элементы
§ 3. Теорема трех систем
§ 4. О подборе сечений по условиям прочности. Лучевое правило

Литература

Предисловие

Можно отметить три основных направления, которые приводят к проблеме оптимального проектирования, или к «теории оптимальных систем» в строительной механике. Одно из них зарождается непосредственно в творческой деятельности инженера, который при проектировании сооружений всегда выбирает наивыгоднейшее в данных условиях решение и находит его путем сравнения некоторых вариантов, без ясно выраженной модели задачи выбора. С этим направлением связаны многочисленные исследования вопросов расчета и проектирования конструкций мостов, промышленно-гражданских сооружений, судов и самолетов. Современные тенденции развития конструкций — по существу коллективно вырабатываемые рекомендации по оптимальному проектированию, а осуществленные замечательные сооружения в СССР и за рубежом наглядно убеждают в возможности значительных достижений па этом пути. Не строительная механика используется здесь лишь как вспомогательное средство, ее применение не характеризуется качественно новыми особенностями.

Исследования в области строительной механики, связанные с попытками аналитически решать задачу выбора наилучшей системы или некоторых ее параметров непосредственно по на¬грузкам, условиям прочности материалов, физическим предпосылкам теории расчета и другим данным, следует отнести ко второму направлению. Статически неопределимые стержневые системы были первым объектом таких попыток. Это естественно, так как именно при расчете таких систем в рамках самой строительной механики возникает известный заколдованный круг: чтобы подобрать прочные сечения элементов, нужно знать возникающие в них усилия, а чтобы найти усилия — нужно знать соотношения жесткостей элементов. На этом пути решение так называемой «обратной задачи» оказывается сложным, и эта сложность связана не только с необходимостью производить громоздкие вычисления, вследствие чего некоторые предложения теряли практический интерес в глазах проектировщика, и не только с упрощениями, которые приходилось принимать, стремясь к уменьшению числа переменных величин. Эта сложность связана также с совершенно новыми вопросами существования и единственности решений, сходимости к вырожденным решениям, когда в ответе мы получаем совсем не то, о чем спрашивали.

В первых исследованиях эти вопросы могли показаться случайными и надуманными, но они стали, по-видимому, восприниматься с должным пиететом, когда в связи с применением современной вычислительной техники и нового раздела прикладной математики — математического программирования — задача оптимизации в строительной механике стала рассматриваться как частный случай приложения методов математического программирования. В настоящее время это третье направление имеет обширную литературу, далеко выходящую за пределы объема курса строительной механики.

С задачами оптимизации мы встречаемся во многих важных областях техники и народного хозяйства. В этом аспекте строительная механика может действительно представиться лишь частным случаем приложения общих методов математического программирования и то, что в строительной механике ассоциируется с разделом «оптимальные системы», возможно, не представляет самостоятельного интереса. Единые понятия в этой области не выработаны, единая методика постановки и решения задач отсутствует.

Однако такое заключение, по мнению автора, было бы преждевременным. Выбор наилучшей в известном смысле конфигурации элементов, воспринимающих заданную систему сил,— задача механики. Отыскание наилучших в известном смысле параметров механической системы — также задача механики. Понятия математического программирования допускают в правильной математической модели задачи оптимизации отчетливую механическую интерпретацию. Главное, что характеризует проблему выбора в механике и связанные с нею задачи,— это переход от рассмотрения единичной системы к рассмотрению некоторого множества систем, отображающего ту реальную совокупность вариантов, среди которых проектировщик выбирает оптимальную конструкцию.

Этот новый объект исследования — множество систем, а не единичная система — порождает новую концепцию строительной механики как синтеза сооружений и новые задачи. Последние связаны с изучением структуры различных множеств механических систем, с разработкой методов выделения оптимальных систем, учитывающих механические свойства задачи, с изучением свойств оптимальных систем и законов синтеза механических систем в широком плане. Не следует настаивать на конкретном выборе модели, пригодной для любой задачи: естественно, что «множества допустимых систем» и критерии оптимальности могут быть различными в разных задачах при обоснованных предпосылках физической теории расчета и учете требований, определяющих допустимые решения.

С этими соображениями связаны основные задачи настоящего пособия, которые автор счел целесообразным написать в форме лекций — первой части специального курса строительной механики по разделу «Оптимальные системы». Пособие является развитием цикла лекций, неоднократно прочитанного аспирантам кафедры строительной механики Харьковского института инженеров железнодорожного транспорта.

Главное внимание в книге уделено задачам оптимизации стержневых систем с элементами кусочно-постоянного сечения. Эти задачи рассматриваются для широкого класса систем со статически допустимыми усилиями и для класса линейно-деформируемых статически неопределимых систем, в которых «вырождение» элементов конструкций не допускается. Теория, изложенная в последней главе, может быть применена не только к расчету стержневых конструкций, однако это выходит за рамки настоящего пособия.

Рассчитывая на широкий круг читателей — студентов дневного, вечернего и заочного обучения, инженеров и аспирантов, автор не считал сжатость достоинством учебной литературы и в некоторых случаях, может быть, с излишней подробностью, останавливался на простых, но новых в строительной механике понятиях.

Во избежание методических трудностей автор не связывает изложение основ теории оптимального проектирования с программированием различных алгоритмов для ЭЦВМ, хотя практическое использование этой теории в современных условиях требует применения вычислительных машин. Но это увело бы нас в другую сторону — свелось бы к рассмотрению только вычислительных процедур, основанных на применении общих методов программирования.

Предполагается, что читатель настоящего пособия владеет основными методами расчета статически неопределимых систем, поэтому подсчеты, связанные с применением метода сил в обычной форме, как правило, опускаются.

Хотелось бы отметить методические цели предлагаемых лекций. Прежде всего нужно было выяснить содержание основных механических понятий математического программирования в задачах оптимального проектирования; при этом целесообразно иметь единую методическую концепцию в подходе к этим задачам. Оказалось удобным, кроме физических параметров системы, ввести вспомогательные ее характеристики, неотрицательные в допустимой области; отклонение любой системы от оптимальной интерпретируется как наличие в ней излишних «запасов» и разные приемы оптимизации сводятся к исчерпанию этих запасов в процессе спуска к оптимальной системе.

Главная цель работы была бы достигнута, если бы лекции облегчили самостоятельную корректную постановку и решение хотя бы небольших задач оптимального проектирования. Поэтому автор предпочел отказаться от приведения подробно разработанных примеров расчета сооружений, выполненных без анализа по стандартной схеме, а обратился к простым иллюстративным задачам, из которых можно извлечь наибольшее количество информации. Как правило, в каждой из них показано использование безразмерных параметров (этот прием делает решение пригодным для различных частных случаев), находятся их оптимальные значения и выясняются свойства ограничений прочности, выпуклость и невыпуклость допустимой области, возможные варианты решений. Все эти особенности, подчас неприятные, могут иметь значение в задачах реального проектирования.

Наконец, если новая область строительной механики, работа в которой мне представляется интересной и многообещающей, привлечет внимание читателя, то ему придется обратиться к специальной научной литературе по прикладной математике. Знакомство с основными понятиями математического программирования и краткие сведения о методах линейного и нелинейного программирования, приведенные здесь, возможно, облегчат ему этот переход.

Очерки истории развития «теории оптимальных систем» в строительной механике даются в обзорных статьях, приведенных в небольшом перечне литературы. В этих статьях дана и библиография по вопросам оптимального проектирования. Обзоры работ по оптимальным стержневым системам помещены в [3, 4, 10, 11, 12, 13,15, 20].

Автор выражает глубокую благодарность профессорам Д.Г. Ковтуну и Л.А. Колесникову, доцентам О.П. Дорошенко, Ю.П. Китову и В.М. Рябченко за ценные замечания при рецензировании рукописи, доценту Б.Г. Брадул-Кириллову за помощь при подготовке ее к печати.