Дается математическое описание работы массивных бетонных гравитационных плотин с учётом наличия. трещин, раскрытия и закрытия строительных швов и решение этих задач методом конечных элементов. Приводятся примеры расчёта конкретных гидротехнических сооружений – Саяно-Шушенской и Богучанской ГЭС. Для специалистов-гидротехников, научных работников, а также может быть полезна инженерам-расчётчикам, специализирующимся в области численного решения задач теории упругости на ЭВМ.

Предисловие
Условные обозначения

Глава I. Плоская задача упругости с идеальными односторонними связями
Граничные условия иа контакте двух тел
Уравнения задачи упругости с односторонними связями
Принцип минимума полной энергии

Глава II. Решение плоской задачи упругости с односторонними связями методом конечных элементов
Дискретизация задачи в вариационной постановке
Решение задачи квадратичного программирования методом условного градиента
Численные примеры

Глава III. Расчет сооружений со штраблеными швами
Математическое моделирование контакта пгграбленых тел. Асимптотическая задача
Численный пример

Глава IV. Расчеты гидротехнических сооружений с раскрывающимися швами
Плоский фрагмент плотины Саяно-Шушенской ГЭС со швом-надрезом на напорной грани
Расчеты фрагмента плотины Саяно-Шушенской ГЭС с раскрытием контактного шва и фильтрацией в основании
Гравитационная плотина Богучанской ГЭС со штраблеными наклонными швами

Глава V. Односторонние связи с треиием
Основные свойства упругих систем с кулояовским трением на контакте
Решение задачи упругости с односторонними связями при наличии трения
Расчет подпорной стенки с трением на контактном шве

Список литературы

Предисловие

В массивных бетонных гидротехнических сооружениях практически всегда имеется большое количество различных технологических, деформационных и конструктивных швов. В процессе возведения и эксплуатации сооружений швы могут раскрываться или закрываться (если между их поверхностями существовал зазор), изменяя схему статической работы. Трещины, возникшие в начальный период работы сооружения, в дальнейшем тоже могут закрываться и вновь раскрываться, т. е. работать так же, как и предусмотренные проектом швы. Эти явления оказывают большое влияние на напряженное состояние сооружений, их прочность и надежность.

Поверхности швов могут иметь чрезвычайно разнообразный рельеф — от шероховатости, измеряемой долями миллиметра, до штраб (зубцов), имеющих размеры около метра. В зависимости от масштаба рельефа швы могут обладать различными свойствами. Шероховатость поверхностей приводит к возникновению сил трения между ними. При более крупном рельефе возникают совсем иные свойства, связанные с зацеплением зубцов. Еще более сложная ситуация имеет место при взаимодействии поверхностей трещины, возникшей в монолитном бетоне. Их рельеф нерегулярен, и параметры его можно описать лишь терминами теории вероятностей.

Железобетонные элементы сооружений после трещинообразования представляют собой конструкции как с магистральными трещинами, так и с большим количеством мелких трещин (дисперсное трещинообразование), в результате возникают сложные нелинейные зависимости между силовыми и деформативными характеристиками. Скальные основания сооружений также всегда имеют естественную трещиноватость и работают иначе, чем сплошное тело.

В делом учет несплошностей, возникающих в массивных сооружениях и их основаниях, представляет собой сложную проблему, весьма далекую от полного решения.

Число публикаций в этой области огромно и продолжает стремительно увеличиваться. Приведенный список литературы содержит лишь незначительную часть выполненных работ. Для более полного ознакомления с литературой следует обратиться к ссылкам, имеющимся в приведенных здесь источниках.

Работы, посвященные учету несплошностей, можно разбить на две большие группы. К первой относятся исследования, выполненные классическими (аналитическими и полуаналитическими) методами решения контактных задач и задач теории трещин, позволяющими получать весьма точные решения для областей простой формы.

Ко второй группе, получившей практическое развитие с появлением ЭВМ, относятся работы, выполненные разнообразными численными * методами, которые можно в свою очередь разделить на несколько подгрупп. Первая подгруппа — решение задач теории упругости для тел с трещинами численными методами, в которых тем или иным способом учитываются особенности, возникающие в устье трещин. Это направление тесно связано с аналитическими решениями, поскольку; именно в них черпается информация о характере напряженно-деформированного состояния вблизи особенностей.

[* Под численными методами согласно установившейся традиции понимаются способы решения задач, связанные с дискретизацией расчетной области, — метод сеток и тесно связанные между собой вариационно-разностный метод и метод конечных элементов.]

Вторая подгруппа — моделирование несплошностей в рамках физически нелинейных задач механики твердого тела, позволяющее изучать как дисперсное трещинообразование, так и влияние магистральных швов и трещин. В этой подгруппе преобладает метод конечных элементов, и для нее характерно использование таких приемов, как, например, моделирование скальных массивов материалом, не работающим на растяжение, применение вырожденных конечных элементов для моделирования магистральных швов и трещин, использование специальных связующих элементов, моделирующих диаграмму сил — смещений на границе бетона с арматурой и т. д.

Третья подгруппа — изучение поведения тел с имеющимися магистральными трещинами и швами с помощью аппарата односторонних связей, т. е. решение экстремальных задач с ограничениями в виде неравенств, Именно к этой подгруппе относятся методы, изложенные в настоящей книге.

В дальнейшем все швы и образовавшиеся трещины независимо от их назначения и происхождения будем называть разрезами, за исключением случаев, когда рассматриваются гидротехнические объекты с конкретными типами швов.

Взаимные перемёщения поверхностей разрезов не могут быть произвольными и ограничиваются условиями возникновения контакта. Участки контакта заранее неизвестны и определяются в процессе решения задачи. Напряжения на поверхностях разрезов складываются из двух частей: поверхностной нагрузки и контактных напряжений. Последние также не могут быть произвольными, например нормальные контактные напряжения — только сжимающие.

Основное свойство связей, действующих на разрезах, — способность работать только в одну сторону — определяется термином «односторонние». Граничные условия на разрезах формулируются в виде неравенств, следовательно, задачи упругости с односторонними связями являются нелинейными. Эти задачи не укладываются в рамки физически или геометрически нелинейных задач и представляют собой особый тип.

Различают идеальные и неидеальные связи. Идеальные связи реализуются на разрезах при отсутствии трения между поверхностями. Упругое тело с идеальными односторонними связями является консервативной системой; для такой системы справедливы вариационные принципы, которые можно считать обобщением вариационных принципов линейной задачи теории упругости с обычными двусторонними связями.

Учет трения значительно усложняет проблему. Задачи с трением не допускают вариационной постановки. Исключение составляет случай заданной на контакте предельной силы трения. 

Задачи упругости с односторонними связями на границе области впервые были рассмотрены Синьорини, именем которого их и принято называть. Исследование задачи Синьорини и связанные с ним проблемы получили развитие в работах Фикеры, Дюво и Лиоиса и других авторов, в которых доказываются вариационные принципы, изучаются условия существования и единственности решений и т. п. Эти исследования служат теоретической основой построения численных методов.

Среди публикаций, посвященных разработкам алгоритмов для решения конкретных задач, особо выделим монографию Гловинского, Лионса и Тремольера, в которой систематически излагается построение численных методов на основе вариационных принципов.

Такой подход, во-первых, позволяет использовать математический аппарат минимизации функционалов с ограничениями, развитие которого происходит очень интенсивно, во-вторых, радикально решает вопросы существования решения и сходимости итерационных процессов. Эти вопросы связаны со свойствами экстремальных задач, которые хорошо изучены.

Вариационный подход к решению задач получил широкое распространение и в родственной области исследований — механике стержневых систем с односторонними связями. В работах задачи с идеальными односторонними связями трактуются как задачи квадратичного программирования.

Возвращаясь к вопросу об учете трения в задачах, не допускающих вариационной постановки, отметим, что в настоящий момент авторам неизвестны постановки этих задач, обеспечивающие единственность решения. В работах приведены алгоритмы решения некоторых частных задач, основанные на простых интуитивных соображениях.

В инженерной практике часто используются приемы, которые трудно отнести к одной из вышеперечисленных групп методов. Например, в гравитационная плотина со столбчатой разрезкой схематизируется в виде нескольких взаимодействующих стержней, каждому из которых соответствует один столб. Встречаются попытки представления швов в виде широких вырезов, т. е. с помощью изъятия полос материала сооружения. Решение в этом случае обычно определяется каким-либо численным методом, иногда осуществляется итерационный процесс, основанный на корректировке размеров выреза. Для некоторых частных видов швов известны решения, полученные с помощью строгих численно-аналитических методов.

В настоящей книге рассматривается расчет массивных сооружений со швами в рамках плоской задачи упругости с односторонними связями. Такой подход универсален, он позволяет учитывать в принципе произвольно расположенные системы швов с весьма сложными свойствами (например, штрабленых швов). Решение строится на основе метода конечных элементов (МКЭ). При решении МКЭ исходная задача сводится к так называемой задаче квадратичного программирования, которая может быть решена различными методами, в том числе методом условного градиента.

В первой главе рассматриваются постановки задачи упругости с идеальными односторонними связями на разрезах с гладкими поверхностями. Доказывается принцип минимума полной энергии.

Во второй главе с помощью МКЭ исходная задача упругости сводится к задаче квадратичного программирования с большим числом неизвестных, излагается ее решение.

Третья глава посвящена расчету сооружений со штраблеными швами. Численное решение такой задачи с точным воспроизведением рельефа практически невозможно, ибо требует очень мелкой конечно-элементной сетки. Поэтому исходная задача заменяется асимптотической с гладкими разрезами, на которых действуют специфические идеальные односторонние связи. Свойства этих связей определяются формой рельефа штрабленых швов.

В четвертой главе на примере расчета конкретных; гидротехнических объектов демонстрируются способы практического использования расчетных схем с идеальными односторонними связями.

В пятой главе рассматриваются вопросы учета трения между контактирующими поверхностями, нарушающего идеальность связей, формулируется задача с односторонними связями при кулоновском трении, предлагается алгоритм ее решения, заключающийся в решении Последовательности вспомогательных задач с идеальными связями, приводится пример расчета подпорной стенки с учетом трения на контакте ее с основанием.

Все основные теоретические результаты в книге сопровождаются численными примерами, причем авторы стремились дать представление о том, что возможно и что невозможно исследовать с помощью МКЭ.

Расчеты выполнены на ЭВМ БЭСМ-6 по программе ТУОС.

Несмотря на то, что авторы излагали теоретический материал лишь в той мере, в какой это необходимо для практического применения методов, его удельный вес весьма велик, поскольку нет книг, где рассмотренные здесь вопросы изложены с необходимой полнотой.

Авторы выражают искреннюю признательность В.А. Зейлигеру, принимавшему активное участие в усовершенствовании программы, и В.А. Заболотной за большую помощь в оформлении книги.