Книга посвящена систематическому изложению статистической динамики и теории надёжности конструкций. Излагаются методы расчёта конструкций на действие статических и динамических нагрузок случайного характера. Излагается теория надёжности, основанная на интерпретации отказа как случайного выброса из допустимой области в пространстве качества. Даются методы оценки надёжности для многомерных эвклидовых и функциональных пространств качества. Изложение иллюстрируется на большом количестве примеров. Книга рассчитана на инженеров-проектировщиков и инженеров-исследователей, работающих в строительстве, машиностроении, авиации и других областях техники, а также на студентов старших курсов и аспирантов, которые специализируются по расчёту и испытанию различных конструкций.

Предисловие
Введение

Глава I. Задачи и методы статистической динамики
§ 1.1. Основные понятия
§ 1.2. Задачи статистической динамики. Классификация систем
§ 1.3. Метод решения задач для вырождённых систем
§ 1.4. Метод функций Грина
§ 1.5. Метод стохастических дифференциальных уравнений
§ 1.6. Метод спектральных представлений
§ 1.7. Прохождение стационарного случайного процесса через стационарную линейную систему
§ 1.8. Элементы статистической динамики нелинейных систем
§ 1.9. Метод статистической линеаризации
§ 1.10. Сведения из теории марковских процессов
§ 1.11. Применение теории марковских процессов к решению задач статистической динамики
§ 1.12 Понятие о стохастических краевых задачах. Случайные поля и их описание
§ 1.13. Методы решения линейных стохастических краевых задач
§ 1.14. Методы решения нелинейных стохастических краевых задач

Глава II. Применение методов теории вероятностей к расчёту сооружений
§ 2.1. Расчёт балок, лежащих на сплошном упругом основании со случайными характеристиками
§ 2.2. Расчёт балок на дискретных упругих опорах со случайными характеристиками
§ 2.3. Расчет докритических деформаций тонких упругих оболочек
§ 2.4. Краевые эффекты при докритических деформациях
§ 2.5. Растяжение пластины с начальными неправильностями
§ 2.6. Случайные термоупругие напряжения в оболочках
§ 2.7. Термоупругие краевые эффекты

Глава III. Теория надёжности и долговечности сооружений
§ 3.1. Основные понятия
§ 3.2. Некоторые простейшие задачи теории надёжности
§ 3.3. Основы общей теории надёжности
§ 3.4. Метод условных функций надёжности
§ 3.5. Среднее число выбросов случайного процесса за заданный уровень
§ 3.6. Распределение экстремумов случайного процесса
§ 3.7. Оценки для вероятности редких выбросов и для функции надёжности
§ 3.8. Примеры вычисления функции надёжности
§ 3.9. Оценка функций надёжности в случае многомерного пространства качества
§ 3.10. Применение теории надёжности к расчёту оптимальной виброзащиты оборудования
§ 3.11. Надёжность и долговечность систем марковского типа
§ 3.12. Элементы теории надёжности распределённых систем
§ 3.13. Примеры оценки надёжности распределённых систем

Литература

Предисловие

В последние годы наблюдается всё более широкое внедрение методов теории вероятностей и математической статистики в строительную механику. Публикуется много работ на эту тему, повышается их уровень. Проводятся научные конференции по применению статистических методов в строительной механике, организуются постоянные семинары. Всё большее число молодых научных работников избирают эту область для своей творческой деятельности. Смещение интересов в сторону вероятностных проблем вполне естественно. Оно отражает понимание того факта, что только применение методов теории вероятностей и математической статистики открывает путь для правильной оценки надежности конструкций, для обоснованных методов проектирования надёжных, долговечных и рациональных сооружений и машин.

В книге даётся изложение статистической динамики и теории надёжности применительно к расчёту конструкций на действие статических и динамических нагрузок. Книга является продолжением работы автора, результаты которой вошли в книгу «Статистические методы в строительной механике» (Стройиздат, 1965). Отличительная черта новой книги состоит в широком применении теории случайных полей и более последовательном проведении общей концепции надёжности, которая в предыдущей книге предлагалась лишь как один из возможных вариантов. Читателю, не знакомому с основами теории вероятностей и её приложениями к расчёту сооружений, лучше начинать с книги «Статистические методы в строительной механике».

Книга состоит из трёх глав. Глава I посвящена методам статистической динамики и их применению к системам с конечным и бесконечным числом степеней свободы. Глава II содержит примеры решения задач статистической динамики. Излагаются методы расчёта балок на стохастическом упругом основании, многопролетных балок на упругих опорах со случайными характеристиками, пластин и оболочек, срединная поверхность которых имеет случайные начальные неправильности, оболочек, находящихся в случайном температурном поле, и т. п. В III главе излагается теория надёжности, основанная на интерпретации отказа как случайного выброса из допустимой области в пространстве качества. Излагаются методы оценки надежности для многомерных эвклидовых и для функциональных пространств качества. Приведены примеры оценки надёжности.

Книга написана по материалам лекций, которые автор читал в 1965—1968 гг. для студентов старших курсов и аспирантов Московского ордена Ленина энергетического института. Всем, кто принимал участие в обсуждении этих материалов, и особенно Б.П. Макарову, В.Н. Москаленко и Ю.Н. Новичкову автор выражает глубокую благодарность.

Введение

В настоящее время является общепризнанным, что поведение реальных конструкций обусловлено взаимодействием ряда факторов случайной (стохастической) природы. Поэтому обоснованный подход к определению надежности и долговечности конструкций возможен только с позиций вероятностных методов.

Обычный, детерминистический подход к расчёту конструкций состоит в сущности из двух этапов. На первом этапе вычисляются напряжения, деформации и перемещения в конструкциях, подверженных действию внешних нагрузок, или вычисляются некоторые предельные значения этих нагрузок. Решению этой задачи служат методы строительной механики, теории упругости, теории пластичности и т. п. Инженерный расчёт на этом не заканчивается. Его конечной целью является решение вопроса о том, сможет ли конструкция достаточно надёжно служить в течение установленного срока. Второй этап расчёта состоит в сопоставлении вычисленных напряжений, деформаций и перемещений с некоторыми нормативно допустимыми значениями (или в вычислении коэффициентов запаса и их сопоставлении с нормативными значениями). Будучи крайне элементарным, второй этап расчёта является в то же время весьма важным. Именно на этом этапе косвенными и довольно примитивными методами решается вопрос о выборе достаточно надёжной, долговечной и экономичной конструкции.

Статистическое истолкование коэффициентов запаса и допускаемых напряжений открывает возможности для более обоснованного и глубокого способа оценки надёжности. Представляется целесообразным изложить его в терминах теории надёжности — общетехнической дисциплины, предметом которой является изучение надёжности и долговечности систем независимо от их характера, назначения и т. п.

При этом становится необходимой перестройка первого этапа расчёта. Для суждения о надёжности нужно знать характеристики поведения проектируемой конструкции в условиях эксплуатации. Это заставляет учитывать случайный характер внешних сил и других внешних условий, а во многих случаях и случайную природу физических и геометрических параметров конструкции. Возникают вероятностные задачи, аналогичные задачам строительной механики, теории упругости, теории пластичности и других разделов механики твёрдого тела. Это задачи о нахождении вероятностных характеристик поведения конструкции по заданным вероятностным характеристикам внешних условий и параметров конструкции. 

Можно было бы говорить о вероятностных (или статистических) задачах строительной механики, теории упругости, теории пластичности и т. д. Однако во всех этих задачах на первый план выступает не способ идеализации конструкции, а постановка вероятностной задачи и метод её решения. Поэтому целесообразно объединить вероятностные задачи различных ветвей механики твёрдого тела в одном её разделе, назвав его, например, «статистическая динамика твёрдого тела и конструкций» или «статистическая механика твёрдого тела и конструкций». Первое название обладает тем недостатком, что вызывает ассоциации лишь с динамическими задачами. Название же «статистическая механика» используется для обозначения раздела теоретической физики, посвященного вероятностному описанию поведения термодинамических систем. Правда, в последнее время этот раздел физики все чаще называется «статистическая физика». В этой книге, желая подчеркнуть прикладной характер изложения, мы будем говорить о «статистической динамике конструкций».

В книге будет дано систематическое изложение статистической динамики и теории надёжности конструкций. Эти разделы строительной механики весьма тесно связаны между собой. При решении каждой конкретной задачи методы статистической динамики и теории надёжности обычно излагаются последовательно (исключения составляют некоторые оптимизационные подходы). Граница проходит примерно там, где от определения напряжений, деформаций и т. д. мы переходим к установлению опасных состояний и к вычислению вероятности их возникновения. В одних случаях первый этап не содержит каких-либо существенных трудностей, и решение задачи в сущности сводится к расчёту надёжности. В других случаях, напротив, нахождение вероятностных характеристик напряженно-деформированного состояния требует тонких математических расчётов, в то время как собственно расчёт на надёжность является элементарным. Тем не менее из методических соображений представляется целесообразным излагать статистическую динамику и теорию надёжности конструкций раздельно. Естественно, что при такой структуре некоторые примеры будут обсуждаться дважды: один раз с точки зрения статистической динамики и другой раз с точки зрения теории надёжности.

Переходя к анализу современного состояния вопроса, мы ограничимся указанием на наиболее крупные работы, а также на работы обзорного характера. Подробная библиография публиковалась неоднократно; мы отсылаем за указаниями к книгам и статьям.

По ряду причин вопросами надёжности конструкций начали интересоваться ранее, чем вопросами статистической динамики. Как общетехническая дисциплина теория надёжности сформировалась 10—15 лет назад в первую очередь под влиянием развития радиоэлектроники, вычислительной техники и ракетной техники. Однако впервые вопросы теории надёжности были поставлены именно в строительной механике. Первыми по теории надежности были работы М. Майера и Н.Ф Хоциалова, относящиеся к 1926—1929 гг. Здесь впервые подверглась критике концепция допускаемых напряжений и коэффициентов запаса. В противовес этой концепции была выдвинута идея о применении статистических методов к расчётам на прочность. В упомянутых работах мы уже находим некоторые основные понятия теории надёжности. Первые публикации по надёжности конструкций носили дискуссионный характер и не получили в свое время широкого одобрения. Выдающаяся роль в деле внедрения статистических методов в строительную механику принадлежит Н.С. Стрелецкому, который начиная с 1935 г. опубликовал ряд работ на эту тему. В его книге мы находим систематическое изложение статистической концепции надежности сооружений; в неявной форме эта концепция нашла отражение в методике расчёта конструкций по предельному состоянию.

В послевоенные годы исследования были продолжены как в СССР, так и в зарубежных странах. К этому периоду относятся работы А.Р. Ржаницына, подытоженные в последней главе книги, работы А. Фрейденталя, А. Ионсона и др. Перечисленные работы характеризуются стремлением к простейшим схемам расчёта, не требующим сложного аналитического аппарата. Эти схемы позволили получить качественное описание явления, изучить влияние изменчивости нагрузок и изменчивости прочности на надёжность, поставить задачу об оптимизации и т. д. В этот же период началось внедрение вероятностных методов в машиностроение, судостроение и другие области техники. В машиностроении вопросы надёжности разрабатывались главным образом в связи с проблемой долговечности деталей машин, работающих в условиях переменных напряжений. Литература, относящаяся к этой области, весьма обширна; в СССР существенный вклад в развитие методов расчета на долговечность был сделан С.В. Серенсеном и его сотрудниками. В применении к расчёту судовых конструкций идеи теории надёжности развивались В.В. Екимовым.

Последнее десятилетие характеризуется резким повышением объёма и уровня исследований. Основной чертой этого периода является более глубокое понимание принципов надёжности и переход от элементарных методов теории вероятностей к методам теории случайных функций. Три тесно связанные идеи легли в основу теории. Первая идея сводится к отчетливому пониманию того факта, что как внешние условия эксплуатации конструкции, так и её поведение в процессе эксплуатации суть случайные процессы. Поэтому правильное решение проблемы надёжности и долговечности конструкций возможно лишь с привлечением теории случайных функций. Вторая идея состоит в отождествлении надежности с вероятностью нахождения параметров системы в некоторой допустимой области; нарушение надёжности интерпретируется при этом как выход из упомянутой области. Третья идея состоит в признании того факта, что выход конструкции из строя, как правило, является следствием постепенного накопления повреждений: остаточных деформаций, износа и т. п. Эти повреждения, достигнув определенной величины, начинают препятствовать нормальной эксплуатации конструкции. Таким образом, свойственная ранним работам элементарная трактовка надёжности как вероятности выполнения некоторого неравенства, связывающего случайные числа, уступает место более углубленной и более адекватной трактовке на основе теории случайных функций.

Такой подход к надежности конструкций был предложен автором в ряде статей и в книге. Первое изложение было малоудачным с методической точки зрения. Попытки улучшить его были сделаны в докладе на II Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике и в нескольких более поздних работах. Последняя глава этой книги целиком посвящена теории надёжности конструкций, излагаемой с единой точки зрения.

В пятидесятых годах вопросы статистической динамики конструкций начали интенсивно разрабатываться; к настоящему времени опубликовано довольно большое количество работ. Многие исследования были стимулированы развитием техники летательных аппаратов. К ним в первую очередь относятся исследования по колебаниям упругих систем, находящихся под действием случайных сил: случайных порывов в атмосфере, пульсаций давления в турбулентном пограничном слое, пульсаций акустического давления вблизи работающего двигателя и т. п. Аналогичные задачи возникают в связи с расчётом высотных сооружений на действие ветра. Работы зарубежных авторов по этой тематике представлены, в частности, в сборниках. Другая группа работ связана с расчётом судовых и ограждающих конструкций на действие нерегулярного волнового давления. Некоторые из этих работ отражены в книге В.В. Екимова. Весьма важной для строительной практики является разработка теории сейсмостойкости и ударостойкости сооружений, учитывающей случайный характер нагрузки. Обзор методов и результатов теории случайных колебаний (главным образом применительно к системам с конечным числом степеней свободы) дан в статье.

Ряд работ посвящен изучению влияния случайных начальных неправильностей срединной поверхности на поведение пластин и оболочек при статических и динамических нагрузках. Одна из целей этих работ состояла в истолковании расхождений между результатами испытаний оболочек на устойчивость и теоретическими данными. Высокая чувствительность критических усилий к начальным несовершенствам, с одной стороны, и случайный характер этих несовершенств, с другой, приводят к большому разбросу критических усилий, для описания которого необходимо привлекать методы теории вероятностей и математической статистики. Общая характеристика этого направления и библиографический обзор даны в книгах и статьях.

Все эти вопросы принадлежат к широкому классу задач статистической динамики, в которых случайный элемент вносится разбросом геометрических и физических свойств самой конструкции (а не случайным характером внешних воздействий). В качестве дополнительных примеров можно указать на задачу о влиянии случайного микрорельефа и случайных включений на концентрацию напряжений, на задачу о деформировании конструкций, лежащих на упругом основании со случайными свойствами, и т. п. К тому же классу принадлежат в сущности и задачи теории микронеоднородных сред — поликристаллов, стохастически армированных материалов и т. д. Назначение этой теории — предсказание поведения микронеоднородных сред на основании известных свойств компонентов из известных законов их вероятностного распределения. Теория микронеоднородных сред входит как составная часть в физические основы теории упругости и пластичности, а к строительной механике имеет лишь косвенное отношение. Однако в методологическом отношении она тесно связана со статистической динамикой и поэтому может рассматриваться как один из её разделов.

Во многих публикациях упругие системы заменялись эквивалентными в некотором смысле системами с конечным числом степеней свободы, а нередко — системами с одной степенью свободы. Затем к этим редуцированным системам применялся математический аппарат из родственных областей — статистической теории автоматического управления, статистической теории связи и т. п. Подобные исследования носили обычно лишь качественный, методический характер. Реальные конструкции представляют собой системы с бесконечным числом степеней свободы. Для описании их случайного поведения нужно ставить и решать стохастические-краевые задачи. К настоящему времени теория стохастических краевых задач разработана мало, хотя имеются некоторые эффективные методы решения. Обзор этих методов с призерами применения к стохастическим задачам теории пластин и оболочек был дан в статье. В книге при изложении вопросов статистической динамики преобладал подход, основанный на приведении конструкций к системам с конечным числом степеней свободы. В этой книге конструкции рассматриваются как распределенные системы; при этом приведение к дискретным системам трактуется как один из приближенных методов решения стохастических краевых задач.

В заключение кратко остановимся на возражениях, которые выдвигали в прошлом, да и сейчас продолжают выдвигать противники вероятностных и статистических методов. Эти возражения, в сущности, сводятся к двум основным. Первое из них — это сомнение в возможности получения опытных данных в количестве, достаточном для последующей их обработки методами теории вероятностей. Такое сомнение, обоснованное, может быть, в прошлом, в настоящее время уже не должно приниматься во внимание. Развитие автоматики и измерительной техники, обеспечивающей автоматическую регистрацию и даже планирование самого эксперимента, и широкое внедрение электронных вычислительных машин, позволяющих проводить весьма быструю статистическую обработку больших объемов информации, — все это снимает не только принципиальные, но и технические трудности. В качестве примера укажем на положение со статистикой начальных неправильностей в тонких оболочках. В течение ряда лет противники статистической теории указывали на невозможность получения надлежащей информации. Недавно Б.П. Макаров показал, что трудности вполне преодолимы, и получил при помощи специальной измерительной установки и электронной цифровой машины надёжные статистические сведения о начальных неправильностях.

В вопросе о накоплении информации, необходимой для применения вероятностных теорий к расчету инженерных конструкций, есть и другая сторона. Нам нужна не любая информация, а информация, научно организованная и приспособленная для её последующей обработки методами статистической динамики и теории надёжности. Чтобы научиться получать такую информацию, надо иметь достаточно хорошо разработанную теорию. На первый взгляд, получается замкнутый круг: без информации нельзя развивать теорию, без теории невозможно накапливать информацию. Разрешение этого противоречия состоит в разработке теории, на основе которой в дальнейшем можно строить обоснованные эксперименты и наблюдения. Результаты, к которым приводит политика противоположного характера, можно проследить на примере с проблемой усталости материалов. В течение ряда лет бесчисленнее количество лабораторий во всем мире занимается этой проблемой. Расходы на экспериментальное изучение усталости металлов и других конструкционных материалов, возможно, превосходят затраты на все механические испытания, вместе взятые. Между тем подавляющее большинство опытных результатов остается без надлежащей обработки и интерпретации. Теории усталостного разрушения, пригодной для математического описания процесса накопления усталостных повреждений и развития макроскопических трещин, до сих пор не существует. Своевременное создание такой теории, служащей организующим началом для экспериментальных работ, позволило бы сэкономить немало времени и средств.

Второе соображение, выдвигаемое против вероятностных методов, носит более отвлеченный характер. Часто утверждают, что выводы вероятностного характера применимы лишь к массовым событиям и к системам, которые создаются в большом числе экземпляров и эксплуатируются в однородных условиях, т. е. лишь тогда, когда действует статистическое истолкование вероятности и закон больших чисел.

Между тем вероятность есть некоторая объективная мера возможности наступления события: эта мера сохраняет свой смысл независимо от того, является это событие многократно воспроизводимым или нет. В жизненной практике мы повседневно (хотя и полуинтуитивно) используем вероятностную меру для оценки возможности наступления той или иной ситуации. Этот подход получил научное закрепление в теории операций — прикладной дисциплине, назначение которой состоит в обоснованном планировании действий для достижения оптимального (по вероятности) эффекта. Вероятность надёжной работы проектируемой конструкции в течение установленного срока эксплуатации остается объективной мерой надежности конструкции и в том случае, если эта конструкция осуществляется в единственном экземпляре. Эта вероятность может быть использована, например, для сопоставления с некоторой нормативной вероятностью, полученной из анализа существующей практики проектирования, а также для сопоставления различных вариантов проектируемой конструкции.

Силы, действующие на конструкцию, как правило, допускают многократное воспроизведение или развертывают свои вероятностные свойства во времени. Конструкционные материалы изготавливаются в массовом количестве, и их механические свойства в различных партиях могут быть изучены исчерпывающим образом. Соединения, применяемые в конструкциях, как правило, являются массовыми элементами и, во всяком случае, могут быть осуществлены в количестве, достаточном для статистических выводов. Таким образом, поведение самого уникального сооружения, в конечном счёте, определяется случайными факторами массового характера, для каждого из которых допускается статистическое толкование вероятности и закон больших чисел. Предсказать на основе этого статистического материала поведение конструкции — в этом, собственно, и состоит цель статистической динамики и теории надёжности.

В противовес вероятностным методам иногда выдвигают приемы, использующие понятия о некоторых «редко встречающихся», «максимальных», «минимальных» и тому подобных нагрузках и сопротивлениях. Подобные приёмы представляют собой по существу лишь суррогат вероятностных методов, т. е. «вероятностные методы без применения теории вероятностей». При всей кажущейся простоте и очевидности эти приёмы содержат неустранимые логические противоречия. Их практическая реализация невозможна без принятия волевых решений, в значительной степени лишающих эти приёмы убедительности и адекватности.

Итак, применение методов статистической динамики и теории надёжности требует резкого увеличения объёма информации о внешних силах (и вообще об окружающей среде), а также информации о материалах. Увеличение объёма необходимой информации — естественная плата за точное предсказание поведения конструкции и более достоверные выводы о её надёжности и долговечности.