В книге на общедоступном уровне изложены проблемы симметрии. Основная цель, которую поставили перед собой редакторы американского издания математик проф. М. Сенешаль и химик проф. Дж. Флек — выявить глубокий смысл симметрии как единого организующего принципа гармонии в молекулах, кристаллах, живой природе и произведениях искусства. Современность органически сочетается с историческим материалом. Книга рассчитана на читателей, интересующихся или непосредственно занимающихся вопросами симметрии: от специалистов до школьников старших классов.

Предисловие редакторов перевода
Предисловие к русскому изданию
Предисловие

1. ПРЕЛЮДИЯ
Узоры симметрии: ищите и обрящете
Отражение
Поворот
Трансляция (перенос)
Симметрия причин и следствий
Неклассические симметрии
Ищите и обрящете

2. ВЫСТУПЛЕНИЯ НА ФЕСТИВАЛЕ СИММЕТРИИ
Многоликая симметрия
Цветная симметрия и ее значение для науки (Артур Лёб)
Переборы с вариациями: теория и практика (Алиса Дикинсон)
Типографский орнамент эпохи Возрождения: происхождение, использование, эксперимент (Эллиот Оффнер)

3. РАЗМЫШЛЕНИЯ
Орхестра, или поэма об искусстве танца (отрывок) (Сэр Джон Дэвис (1569—1626)
Симметрия: невидимое становится доступным воображению (Джордж Флек)
Модели молекул Симметрия как ориентир при построении реалистических образов атомов и молекул
Симметрия в геологии (Аллан Ладмен)
Симметрия и восприятие порядка (Марджори Сенешаль)
I. Форма
II. Узоры
III. План построения
Симметрия растений (Филип Рейд)
В поисках симметрии у растений
Неоднозначности в поиске симметрии: Борхес и другие (Джордж Фейен)
Размышления алхимика (Лорен Эйсли)

4. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ АККОРД
Теория узоров (Марджори Сенешаль)
I. Пролог
II. Системы симметрии
III. Образующие группы и симметрия многогранников 
IV. Подгруппы и тонкие симметрии
V. Эпилог
Заключительный аккорд (Джордж Флек)
Избранная библиография

ДОПОЛНЕНИЕ
О некоторых последних успехах и нерешенных проблемах теории симметрии (Р.В. Галиулин, М. Сенешаль)
1. Введение
2. Простые формы кристаллов
3. Разбиения
4. Теория узоров и цветная симметрия
5. (г, R)-системы
6. Заключительные замечания
Литература

Загадка двойников прорастания (H.H. Шефталь)
Литература
Иоганн Кеплер и его «Гармония мира» (Ю.А. Данилов)
Литература

Предисловие редакторов перевода

«Кристаллы блещут симметрией»
«Кристаллография — наука вполне самостоятельная, поскольку ее главный рабочий инструмент — симметрия».

Первое выражение принадлежит великому русскому кристаллографу Е.С. Федорову [Федоров Е.С. Симметрия и структура кристаллов (сб. статей 1888—1896).—М.—Л.: изд-во АН СССР, 1940.], второе — признанному кристаллографу номер один Советского Союза А. В. Шубникову [Шубников A.B. Симметрия.— М.— Л: изд-во АН СССР, 1940.]. В обоих выражениях звучит право собственности на симметрию. Микрокристаллография, однако, давно уже поколебала это право, показав, что кристаллография не подчиняется, более того не может подчиняться пятерной симметрии. Последняя же наиболее эффектно представлена в растениях и прежде всего в цветах розы, яблони, вишни и др. Более того, та же пятерная симметрия весьма характерна для вирусов и иных объектов, «строящих жизнь». Так как запрет пятерной симметрии вызван ее несоответствием с основным элементом симметрии кристаллов — решеткой, то было даже высказано предположение, что пятерной симметрией «пользуются» живые организмы, чтобы избежать «захвата» их решеткой, иными словами окаменения. В последние годы удалось выяснить, что пятерная симметрия играет важную роль и в переходной области между живым и неживым при зарождении кристаллического состояния и, возможно, двойников. Проявлению симметрии в живых организмах, в частности в растениях, в начале нынешнего века была посвящена увлекательная книга еще одного великого русского кристаллографа. Г.В. Вульфа [Вульф Г.В. Симметрия и ее проявление в природе.— М.: изд-во Сытина, 1908.]. В ней описано еще одно проявление симметрии. Речь идет о типичном формате листа бумаги, конверта, книжного переплета. В них соотношение сторон соответствующего прямоугольника подчиняется так называемому «золотому», гармоническому закону деления, более строго — делению «в крайнем и среднем отношении». В результате одна величина получается из другой умножением на (√5-1) : 2.

Мир симметрии, простирающийся перед нами, нашел свое отражение в книге «Узоры симметрии». В ней изложены своеобразные представления о симметрии, развивающиеся в США, а именно в колледже Смита (Нортхэмптон, Массачусетс). Многие из направлений в области симметрии были разработаны под руководством известного кристаллографа-математика проф. Дороти Ринч. Её памяти и посвящена данная книга.

Оба редактора американского издания М. Сенешаль и Дж. Флек внесли большой вклад в написание книги «Узоры симметрии». Они как бы объединили усилия лиц разной профессии: физика, геолога, химика, математика, танцора, музыканта, печатника, писателя, ткача, художника, архитектора, кондитера.

В их книге «Узоры симметрии» симметрия тесно переплетается с эстетикой. Каждый специалист, в особенности математик, хорошо это ощущает в отношении своей науки. Вполне естественно, что такое «ощущение» наиболее ярко выражено в учении о симметрии и ее проявлениях в многочисленных отраслях человеческого знания.

Много места в книге уделяется происходившему в США Фестивалю симметрии, а с Фестивалем, конечно, хочется связать колокольный звон. Всякому, кто побывал в Оксфорде, запоминаются раздающиеся там примерно каждый час перезвоны отдельных групп колоколов, «симметрии» которых также посвящена специальная статья. В другом очерке разбирается симметрия музыкальных произведений.

Многие английские газеты ежедневно публикуют не менее двух кроссвордов (для более и менее сведущих) с обязательным центром симметрии для равного числа слов, прочитываемых по горизонтали и по вертикали.

И все же sit modus in rebus (во всяком деле знай меру). Симметрия — великолепное качество, но нельзя им злоупотреблять, даже если это допускает природа. Один из редакторов русского издания — кристаллограф-структурщик. Он и его ученики раскрывают внутреннюю структуру (расположение атомов в кристаллах) в основном в кристаллах природных минералов. Всегда очень хорошо, если несложный кристалл обладает максимумом симметрии, но при весьма сложных структурах «много симметрии» мешает. Симметрия обязательна, но в минимальном количестве. Самый обширный класс структур обычно характеризуется «моноклинной» симметрией, т. е. не больше чем одной осью, одной зеркальной плоскостью плюс центр симметрии.

Проф. М. Сенешаль приезжала в Советский Союз и около 10 месяцев работала в Институте кристаллографии АН СССР над проблемой двойников и цветной симметрии по программе научного обмена между академиями наук США и Советского Союза. Результаты своей работы М. Сенешаль изложила в совместной статье с д-ром физ.-мат. наук Р.В. Галиулиным «О некоторых последних успехах и нерешенных проблемах теории симметрии». Эта статья помещена в дополнении к данной книге. Туда же включены статья H.H. Шефталя «Загадка двойников прорастания» и статья Ю.А. Данилова «Иоганн Кеплер и его «Гармония мира».

акад. Н.В. Белов, проф. H.H. Шефталь

Предисловие к русскому изданию

Хотя книга «Узоры симметрии» своим происхождением обязана вполне определенному событию — Фестивалю симметрии, состоявшемуся в феврале 1973 г. в колледже Смита, затронутая в ней тема симметрии слишком широка, чтобы ее можно было локализовать во времени и в пространстве. На протяжении всей истории человечества симметрия играла важную роль в науке, искусстве и прочих видах интеллектуальной деятельности почти любой цивилизации. Это давно и со всей убедительностью было показано академиком А.В. Шубниковым в его фундаментальной монографии «Симметрия» [Шубников A.B. Симметрия.— М.— Л.: изд-во АН СССР, 1940. См. также Шубников А.В.. Копчик В.А. Симметрия в науке и искусстве.— М.: Наука, 1972.].

Мы весьма рады тому, что книга «Узоры симметрии» переведена на русский язык и стимулировала появление нескольких новых работ по различным аспектам симметрии, написанных специально для русского издания. Пользуясь случаем, мы выражаем искреннюю признательность издательству «Мир», Ю.А. Данилову, взявшему на себя большой труд по переводу, акад. Н. В. Белову, проф. H.Н. Шефталю и д-ру Р.В. Галиулину за интерес, проявленный к нашей книге, и трогательную заботу и внимание ко всему, что с ней связано. Нам хотелось бы также поблагодарить их за гостеприимство, оказанное М. Сенешаль, когда ей выпала честь работать в Институте кристаллографии им. A.B. Шубникова АН СССР с октября 1978 по июль 1979 г. по программе научного обмена между Академией наук СССР и Национальной академией наук США.

Нортхэмптон, Массачусетс. Сентябрь, 1979 г. / Марджори Сенешаль, Джордж Флек

Предисловие

Посвящается памяти Дороти Ринч

В феврале 1973 г. в колледже Смита (г. Нортхэмптон, штат Массачусетс) состоялся первый в мире Фестиваль симметрии. Это беспримерное событие и послужило стимулом к созданию книги «Узоры симметрии». На ее страницах мы стремились передать атмосферу и размах Фестиваля, наиболее существенное из его программы, но в то же время следили за тем, чтобы наша книга не только была содержательной и побуждала к самостоятельному мышлению тех, кто с увлечением занимается поиском «узоров» и форм в любой области, но и оказалась полезной тем, кто изучает или преподает широкий спектр научных дисциплин на самом различном уровне.

Рассматриваемые нами узоры симметрии охватывают не только видимую симметрию таких осязаемых предметов, как бабочки, мебель или растения, но и затрагивают менее четкие, хотя и ничуть не менее важные разновидности симметрии, встречающиеся в изобразительном искусстве, музыке, танце и литературе. Узоры симметрии не исчезают и после того, как мы переступаем порог видимого,— они продолжаются в симметрии процессов созидания некоторых макроскопических объектов. Мы надеемся, что вы разделите с нами радость открытия узоров симметрии в гуманитарных и естественных науках и оцените вызов, таящийся в принципе симметрии, впервые сформулированном около 1890 г. Пьером Кюри:

«Когда какие-либо причины порождают некоторые эффекты, элементы симметрии причин должны обнаруживаться в этих эффектах.

Когда какие-либо эффекты проявляют некоторую диссимметрию, то эта диссимметрия должна обнаруживаться и в причинах, их породивших.

* Диссимметрия по А. В. Шубникову (Симметрия и антисимметрия конечных фигур.— М.: изд-во АН СССР, 1951, с. 161) — «выпадение» некоторых элементов симметрии, которыми обладало тело или явление до оказанного на него воздействия. Исчезнувшие элементы симметрии существуют в скрытом виде и при благоприятных условиях могут проявиться. Отсюда распространенное выражение: «диссимметрия творит явление».— Прим. ред.

Положения, обратные этим двум, несправедливы, по крайней мере практически, т. е. эффекты могут быть более симметричными, чем причины, породившие их» [Curie P., Journ. de Phys., 1894, (III), 3, 393. (Имеется перевод: Кюри П. Избранные труды.— М.— Л.: Наука, 1966, с. 102.)].

Нам доставило удовольствие включить в книгу работы шести наших коллег. Алиса Дикинсон — профессор математики в колледже Смита. Именно ей мы обязаны перезвону с вариациями, зазвучавшему с недавних пор в студенческом городке колледжа. Сначала все комбинации вызванивали на ручных колокольцах, но потом стали звонить в восемь колоколов, висящих на башне Менденхолла — центра исполнительского искусства. Джордж Фейен до 1976 г. был доцентом английского языка и литературы в колледже Смита. Статья «Неоднозначности в поиске симметрии» была написана им специально для данной книги. Артур Лёб — старший лектор Гарвардского университета (отделение исследования окружающей среды). В круг его многообразных интересов входят кристаллография и музыка. Аллан Ладмен до 1975 г. был доцентом геологии в колледже Смита. Вместе с составителями этой книги он принимал участие в подготовке и проведении Фестиваля симметрии в 1973 г. Эллиот Оффнер — профессор изящных искусств по кафедре Эндрю Меллона в колледже Смита и одновременно печатник колледжа. Именно им в Нортхэмптоне основано издательство Rosemary Press. Филип Рейд — ботаник, доцент биологии в колледже Смита. Очерк «Симметрия растений» написан им специально для данной книги.

Мы хотели бы выразить нашу благодарность Мэри Макдугл, секретарю колледжа Смита и его лекционного комитета, за поддержку и помощь, которую она оказывала нам на всех этапах Фестиваля симметрии и подготовки книги «Узоры симметрии» к печати. Выражаем также свою признательность Маршаллу Шалку, заслуженному профессору геологии, за предоставленную им фотографию, и Джулии Бритт, взявшей на себя труд по перепечатке нескольких вариантов рукописи.

Подготовка и публикация нашей книги стали возможными благодаря финансовой поддержке, оказанной мемориальным фондом Сары Сандерсон Вандербильт и фонда Эдвина X. и Элен М. Ленд колледжа Смита.

Наконец, мы не можем не вспомнить с глубокой благодарностью покойную Дороти Ринч. Доктор Ринч, как лектор и исследователь, занимала различные посты в колледже Смита с 1941 по 1971 г. В непринужденных беседах и таких курсах, как «Форма и структура в природе», «Структура больших молекул» и «Физическая кристаллография», она неоднократно подчеркивала ведущую роль принципа симметрии и тезис, согласно которому ни одно явление нельзя считать понятым до конца, если не выяснена взаимосвязь между симметрией причин и симметрией следствий. Именно под таким девизом Дороти Ринч проводила свои исследования структуры протеинов, ставшие делом всей ее жизни. Для решения этой проблемы она использовала свои обширные познания в математике, физике, химии и биологии. Присущее ей глубокое понимание многообразной роли симметрии в различных областях человеческого знания неизменно обогащало чисто технические результаты ее исследований. На первых шагах своей преподавательской деятельности в колледже Смита мы нашли в ней друга и учителя, и наше понимание симметрии сформировалось под ее влиянием. В этом смысле Фестиваль симметрии с полным основанием можно считать детищем идей Дороти Ринч. Эту книгу — детище Фестиваля симметрии — мы посвящаем ее памяти.

Нортхэмптон, Массачусетс. Июль 1976 г. / Марджори Сенешаль, Джордж Флек