Рассматривается осесимметричное напряженно-деформированное состояние тел вращения. Приводятся решения о деформациях цилиндров, толстых плит, шаров, конусов, шаровых и конических оболочек, тел, ограниченных эллиптическими и параболическими поверхностями. Решения иллюстрированы результатами подсчета численных значений напряжений и перемещений. Для научных и инженерно-технических работников научно-исследовательских и проектных организаций.

Предисловие

Глава 1. Основные уравнения
1.1. Осесимметричное нагружение тел вращения
1.2. Основные функции напряжений
1.3. Деформации и напряжения
1.4. Граничные условия
1.5. Условия статической эквивалентности
1.6. Решение при нагружении объемными силами
1.7. Функции перемещений
1.8. Решение в форме Буссинеска — Гродского — Папковича — Нейбера
1.9. Решение в форме Галеркина — Лява
1.10. Решение в форме Мичела

Глава 2. Решение осесимметричной задачи в криволинейных координатах
2.1. Криволинейные ортогональные изотермические координаты
2.2. Дифференциальные, уравнения осесимметричной задачи в криволинейных координатах
2.3. Выражения для напряжений и перемещений
2.4. Решение осесимметричной задачи в криволинейных координатах при нагружениях объемными силами
2.5. Функции напряжений в сферических координатах

Глава 3. Деформации цилиндров. Решение в полиномах
3.1. Граничные условия. Функции напряжений
3.2. Первая простейшая форма функций напряжений
3.3. Вторая простейшая форма решения
3.4. Растяжение цилиндрического стержня собственным весом
3.5. Равномерное вращение цилиндра вокруг собственной оси
3.6. Растяжение сплошного цилиндра силами, равномерно распределенными вдоль длины по линейному закону
3.7. Нагружение полых, цилиндров полиномиальными силами

Глава 4. Деформации цилиндров. Решение в цилиндрических функциях
4.1. Функции напряжений
4.2. Выражения для напряжений и перемещений в цилиндрических функциях
4.3. Сплошной цилиндрический стержень, нагруженный силами, изменяющимися по закону синуса или косинуса
4.4. Решение в рядах
4.5. Асимптотические выражения для напряжений и перемещений
4.6. Решение Файлона
4.7. Напряженное состояние среды с цилиндрической полостью
4.8. Нагружение поверхности цилиндрической полости радиальными силами
4.9. Решение в интегральной форме
4.10. Растяжение цилиндра силами, равномерно распределенными по периметру начального сечения
4.11. Деформация полых цилиндров

Глава 5. Деформации круглых плит
5.1. Изгиб круглых плит
5.2. Плита, свободно опертая по контуру
5.3. Плита, закрепленная по контуру
5.4. Кольцевая плита, нагруженная по боковым поверхностям
5.5. Изгиб кольцевых плит равномерно распределенной нагрузкой
5.6. Изгиб круглых плит под действием собственного веса
5.7. Решение в рядах
5.8. Изгиб плиты силами, распределенными по кольцевой области
5.9. Изгиб круглой плиты нагрузкой, распределенной по площади круга, и сосредоточенной силой в центре
5.10. Осесимметричное нагружение слоя
5.11. Нагружение слоя силами, распределенными по окружности

Глава 6. Деформации цилиндров средней длины
6.1. Симметричное нагружение цилиндров относительно среднего сечения
6.2. Исследование решения
6.3. Асимметричное нагружение цилиндров относительно среднего сечения
6.4. Сжатие цилиндра силами, распределенными по окружности среднего сечения
6.5. Изгиб толстой плиты, жестко закрепленной по цилиндрической поверхности
6.6. Растяжение цилиндра сосредоточенной силой, приложенной в центре торцевого сечения
6.7. Метод однородных решений

Глава 7. Деформации конусов
7.1. Сжатие конического стержня
7.2. Сосредоточенная сила, приложенная к плоскости, ограничиваю щей полубесконечное тело
7.3. Сжатие полого конуса
7.4. Нагружение конусов равномерно распределенными поверхностны ми силами
7.5. Нагружение конусов линейно распределенными поверхностными силами
7.6. Осесимметричная деформация сплошного конуса под действием собственного веса
7.7. Осесимметричная деформация полого конуса под действием собственного веса
7.8. Деформация сплошного конуса при равномерном вращении
7.9. Вторая форма решения осесимметричной задач в сферически координатах
7.10. Решение в рядах
7.11. Сжатие конуса радиальными силами, равномерно распределенными по контуру поперечного сечения
7.12. Сжатие конуса в направлении оси вращения силами, равномерно распределенными по контуру поперечного сечения

Глава 8. Деформации шаров и сферических оболочек
8.1. Сжатие открытой сферической оболочки
8.2. Деформация шаровой оболочки при нагружении ее поверхностей равномерно распределенными нормальными силами
8.3. Концентрация напряжений у мелких шаровых полостей
8.4. Концентрация напряжений у жестких сферических включений
8.5. Концентрация напряжений у сферических полостей при несимметричном нагружении среды
8.6. Напряженно-деформированное состояние вращающегося шара
8.7. Гравитационные напряжения
8.8. Решение в рядах
8.9. Осесимметричное нагружение шаровых оболочек кусочно распределенными силами, нормальными к поверхности
8.10. Деформация оболочки под действием сил, равномерно распределенных на участках поверхности
8.11. Сжатие шара силами, приложенными в полюсах
8.12. Напряженное состояние цилиндра с шаровой полостью конечных размеров
8.13. Исследование решения
8.14. Напряжения у шаровой полости в деформированных цилиндрах

Глава 9. Решения в эллиптических и параболических координатах
9.1. Решение в эллиптических координатах при расположении полюсов на оси вращения
9.2. Сжатие эллипсоида вращения
9.3. Концентрация напряжений у продольных эллипсоидальных полостей
9.4. Решение в эллиптических координатах при расположении полюсов на оси, перпендикулярной оси вращения
9.5. Сжатие гиперболоида вращения
9.6. Концентрация напряжений у сплюснутых эллипсоидальных полостей
9.7. Решение в параболических координатах
9.8. Растяжение параболоида вращения
9.9. Напряженное состояние у открытой параболоидальной полости в бесконечном теле

Список литературы

Предисловие

Элементы инженерных сооружений и машин нередко имеют форму тел вращения. Выяснение значений напряжений и перемещений при деформации таких тел — важная практическая задача, решение которой приводит к уточнению расчетных формул для определения размеров частей конструкции и, следовательно, к более рациональному проектированию.

Напряженно деформированное состояние тел вращения — одна из наиболее интересных областей пространственной теории упругости. Исследования в этой области Ламе, Кельвина, Сен-Венана, Похгальмера, Кри, Вангерина, Иериша, Шиффа, Стеклова внесли существенный вклад в развитие общих представлений механики твердых деформируемых тел и ее теоретического аппарата.

Большое развитие получили исследования осесимметричного нагружения тел вращения или бесконечных пространства и полупространства. Изучение осесимметричного поля напряжений является одной из наиболее развитых областей теории упругости, уступающей по достигнутым результатам только плоской задаче.

По разделению уравнений упругости в цилиндрических координатах для нагружений, не зависящих от угловой координаты, на две группы общая проблема изучения напряженного состояния делится на две независимые части — определение тангенциального перемещения и двух связанных с ним составляющих касательных напряжений и определение радиального и осевого перемещений и четырех составляющих тензора напряжений. Первая часть соответствует обратно симметричному относительно оси распределению деформаций, т. е. кручению тел вращения, вторая — симметричному распределению деформаций и поэтому может быть названа осесимметричной задачей теории упругости.

Осесимметричная задача в отличие от плоской задачи теории упругости решается с привлечением большого числа форм функций напряжений. Если в плоской задаче, как правило, применяются основные построения решений — либо в форме Эри, либо в форме Колосова — Мусхелишвили, основанной на применении аппарата теории функций комплексного переменного,— то в области осесимметричной задачи для получения результатов в частных случаях пользуются решениями Лява, Мичела, Гродского — Папковича — Нейбера, а в последнее время и решением Положего. При рассмотрении частных задач применение той или иной формы функций напряжений обычно не обосновывается и не всегда бывает удачным.

Цель работы — изложение с позиций одной из форм решений осесимметричной задачи важных ее результатов. В качестве основной формы принято решение, опубликованное в ряде работ автора. Такой выбор оправдывается, во-первых, сравнительно простой связью между напряжениями и функциями напряжений — напряжения представляются первыми производными функций напряжений, в то время как в решении Гродского—Папковича—Нейбера они связаны с функциями напряжений через вторые производные, а в решениях Лява и Мичела — через третьи производные. Это обстоятельство приводит к значительному упрощению при получении результатов в частных задачах и особенно существенно, если решение производится в криволинейных координатах. Во-вторых, для применяемых функций напряжений могут быть указаны два простых условия на оси вращения и два простых условия на контуре в осевом сечении тела, позволяющие определить все постоянные, входящие в решение, до подсчета напряжений. В частности, постоянным значениям одной из функций напряжений соответствуют поверхности вращения, на которых отсутствуют аксиально направленные нагрузки.

Большое насыщение монографии примерами решений частных задач, доведенных до численных результатов, и графиками распределения напряжений позволит читателю ознакомиться не только с общей постановкой проблемы изучения осесимметричных деформаций, но и с содержанием ряда работ, посвященных этой проблеме. Разбросанность таких работ в журналах, библиографическая редкость довольно большого их числа и отсутствие единой методики в решениях — все это затрудняет ознакомление с ними и как результат тормозит развитие проблемы в целом.

Обилие публикаций, посвященных осесимметричной задаче теории упругости, не позволяет привести их полный перечень в списке литературы. Книга не охватывает все типы задач осесимметричной деформации тел вращения. Однако, учитывая повышенный интерес к решению пространственных задач теории упругости, можно предположить, что предлагаемая вниманию читателей монография будет полезна для изучения механики деформируемого тела.

Книгу посвящаю светлой памяти жены Анны Васильевны Соляник-Красса, оказавшей большую помощь при подготовке настоящего издания.