В практике проектирования различных строительных конструкций широкое распространение получил метод конечных элементов (МКЭ). Применение МКЭ в традиционной форме к пространственному расчету зданий и сооружений приводит часто к сложным и трудоемким операциям матричной алгебры, связанным с необходимостью решения систем алгебраических уравнений высокого порядка (несколько десятков тысяч уравнений). В книге предложен метод расчета пространственных конструкций зданий и сооружений, свободный от указанных недостатков. Это достигается сочетанием вариационного метода Власова-Канторовича и МКЭ. Во многих случаях матрица жесткости размещается в памяти машины, что позволяет производить все матричные операции наиболее эффективно и с меньшими затратами вычислительного времени.

Особое внимание уделено построению систем интерполяционных функций высоких порядков точности для одно-, двух- и трехмерных конечных элементов. Такие функции находят широкое применение в инженерной практике, так как позволяют большую область аппроксимировать меньшим числом конечных элементов.

Книга широко иллюстрирована практическими примерами расчета строительных конструкций. Книга предназначена для инженерно-технических работников проектных и научно-исследовательских институтов и может быть полезна студентам строительных специальностей вузов.

Введение

Глава 1. Метод конечных элементов при расчете зданий и сооружений как тонкостенных пространственных систем
1.1. Методы дискретизации тонкостенных пространственных систем
1.2. Основные вариационные принципы механики, используемые при расчете методом конечных элементов
1.3. Матричное представление основных уравнений теории упругости
1.4. Идеализация континуальной среды дискретными элементами
1.5. Вариационная формулировка уравнений метода конечных элементов в перемещениях. Матрица жесткости для произвольного элемента
1.6. Преобразование координат. Уравнения равновесия для системы элементов
1.7. Матрица жесткости тонкостенного пространственного конечного элемента
1.8. Уравнения равновесия здания, образованного из пространственных конечных элементов. Обобщенные усилия и напряжения в элементах системы

Глава 2. Основные матрицы метода перемещений для стержневых конечных элементов в статической задаче
2.1. Стержневой элемент с двумя степенями свободы в условиях растяжения — сжатия
2.2. Балочный элемент с четырьмя степенями свободы при изгибе в одной плоскости
2.3. Конечный элемент сжато-изогнутой балки
2.4. Конечный элемент балки на упругом основании
2.5. Конечный элемент стержня с учетом изгибных и сдвиговых деформаций
2.6. Конечный элемент растянуто-изогнутой балки
2.7. Балка на упругом основании с коэффициентом постели k₀, сжатая продольной силой N
2.8. Конечный элемент балки на упругом основании с коэффициентом постели k₀, растянутой продольной силой N
2.9. Конечный элемент изгибаемой балки на упругом основании с отрицательным коэффициентом постели — k₀, сжатой или растянутой продольной силой N

Глава 3. Типы конечных элементов и интерполяция обобщенных перемещений
3.1. Вводные замечания
3.2. Основные типы полиномиальных аппроксимаций в методе конечных элементов и их свойства
3.3. Симплексная интерполяция
Симплекс-решетчатая аппроксимация
Коэффициенты приведенных полиномов
Связь между нормализованными и локальными координатами
3.4. Естественные координаты
Одномерные естественные координаты (координаты длины)
Двумерные естественные координаты
Трехмерные естественные координаты
3.5. Криволинейные координаты и конечные элементы
3.6. Интегрирование по площади треугольника в декартовых координатах
3.7. Одномерные интерполяционные функции для аппроксимации обобщенных перемещений
Интерполирование обобщенными многочленами
Интерполяционный полином Лагранжа
Интерполирование на равноотстоящих узлах. Полином Ньютона
Интерполяционные формулы Гаусса, Стирлинга и Бесселя
Интерполирование с помощью тригонометрических полиномов
Полиномы Эрмита для аппроксимации обобщенных перемещений
3.8. Применение ортогональных полиномов для аппроксимации перемещений в методе конечных элементов
Гипергеометрическое уравнение и гипергеометрическая функция
3.9. Многомерные интерполяционные функции
Двумерная интерполяционная формула Ньютона. Ньютоново семейство конечных элементов
Лагранжево семейство конечных элементов. Многомерная интерполяционная формула Лагранжа
Сирендипово семейство конечных элементов и интерполяционные функции
Конечные элементы гауссова семейства и интерполяционные функции
Многомерные полиномы Эрмита и семейство конечных элементов
Семейства конечных элементов, образованных на основе симплексных решеток

Глава 4. Применение интерполяционных функций высоких порядков для решения плоской задачи теории упругости
4.1. Основные гипотезы и соотношения, соответствующие двум типам плоской задачи
Плоское напряженное состояние
Плоская деформация
4.2. Матрица жесткости для плоского треугольного элемента с тремя узловыми точками (линейная симплексная решетка {3.1})
Ортотропная пластинка
Изотропная пластинка
Трансперсально-изотропная пластинка
Распределенные объемные и поверхностные силы
4.3. Треугольный элемент с шестью узловыми точками (симплексная решетка второго порядка {3, 2})
4.4. Треугольный элемент с десятью узловыми точками (симплексная решетка третьего порядка {3, 3})
4.5. Плоский прямоугольный элемент с четырьмя узлами (линейный элемент лагранжева семейства)
Ортотропный материал
Изотропный материал
Трансверсально-изотропная пластинка
Обобщенные объемные и поверхностные силы

Глава 5. Примеры расчета
5.1. Пространственным расчет консольной конструкции оболочки типа кессона
5.2. Расчет конструкции объемного блока как пространственной системы на действие горизонтальных сейсмических сил с использованием пространственных конечных элементов
5.3. Расчет конструкций 5-этажного объемно-блочного здания серии БКС-5-01 при совместном действии вертикальных и горизонтальных нагрузок
Общие положения, выбор расчетной схемы, методика расчета
Расчет объемного блока на совместное действие вертикальных и горизонтальных нагрузок
Расчет многоэтажного объемно-блочного здания на сейсмические силы и анализ результатов
5.4. Расчет сжато-изогнутой балки, находящейся на упругом основании, загруженной сосредоточенной силой в пролете
5.5. Сжато-изогнутая балка при воздействии распределенной нагрузки

Литература

Введение

Метод конечных элементов (МКЭ) как численный метод инженерного анализа конструкций к настоящему времени получил широкое распространение при расчете самых разнообразных и сложных задач. Рост его популярности объясняется удачным сочетанием в рассматриваемом методе матричного представления основных уравнений равновесия и использования ЭВМ для их решения. Эффективность применения вычислительных машин в данном случае обусловливается наличием стандартных программ, основанных на матричных алгоритмах линейной алгебры и позволяющих создавать универсальные вычислительные комплексы для статического и динамического расчетов разнообразных механических систем.

Практические приложения МКЭ наряду со статическими задачами охватывают все новые области инженерного анализа. Ими являются нелинейная механика сплошных сред, задачи теплопроводности, фильтрации и течения жидкости, теории смазки, задачи динамики, сейсмостойкости и др.

И в нашей стране и за рубежом издан ряд книг, посвященных обоснованию и применению МКЭ к решению прикладных задач. Однако нельзя утверждать, что все аспекты этого метода уже освещены достаточно подробно или хорошо разработаны. Часто обсуждается только постановка задачи, выбирается система аппроксимирующих функций и не приводятся окончательная матрица жесткости конечного элемента и вектор обобщенных узловых сил. Некоторыми авторами игнорируется техника получения результатов, что в конечном итоге затрудняет практическую реализацию МКЭ.

Сопоставление энергии деформации идеализированной конструкции, расчлененной на совокупность конечных элементов стандартной формы, с энергией деформации нерасчлененной на конечные элементы конструкции, может обеспечить ту или иную степень приближения решения. Так, для стержневых систем конструкций рам, ферм и балок МКЭ дает точное решение, если использовать функции формы, соответствующие решению дифференциального уравнения рассматриваемой задачи.

В этой связи МКЭ является естественным распространением общих методов строительной механики на задачи теории упругости и теории оболочек. Развитию методов строительной механики применительно к рассматриваемой проблеме численного анализа строительных конструкций способствовали труды советских ученых. Так, еще в 1932 г. В.З. Власов использовал применяющуюся в настоящее время процедуру конечно-элементного анализа для расчета тонкостенных пространственных систем.

Развитие матричных методов линейной алгебры и их применение для решения статических и динамических задач строительной механики, начиная с работ 1947 года А.Ф. Смирнова и других советских ученых, послужили основой развития математических основ МКЭ в его современном представлении.

Общая схема решения задачи расчета конструкций методом конечных элементов включает ряд этапов, важнейшие из которых следующие.

1. Замена континуальной сплошной среды совокупностью дискретных элементов заданной формы, соединенных между собой в узлах конечным числом жестких связей.
2. Выбор системы интерполирующих полиномов (функций форм) для отдельного конечного элемента, связывающих вектор обобщенных перемещений или напряжений в любой точке идеализированного элемента с вектором узловых перемещений (напряжений).
3. Выбор вариационного принципа и формулировка метода решения задачи (в перемещениях, напряжениях, смешанным или комбинированным методом).
4. Принятие статических, геометрических и физических условий задачи и получение матриц жесткостей, масс, демпфирования, податливости и других матриц в местной системе координат.
5. Получение матриц преобразования из местных в общую систему координат и составление системы алгебраических уравнений, выражающих условия кинематической или статической совместности деформаций исследуемой конструкции.
6. Решение системы алгебраических уравнений (в статической задаче) или соответствующей проблемы собственных значений (в задачах динамики) и определение искомых обобщенных разрешающих функций в выбранных узлах.
7. Определение компонентов напряженно-деформированного состояния для каждого из конечных элементов идеализированной конструкции в соответствии с найденными значениями разрешающих функций в узлах системы.

Наиболее разработанными и широко используемыми являются конечные элементы простых форм с линейной аппроксимацией поля переменных. Их непосредственное применение в расчетах пространственных систем типа оболочек, складок, пролетных строений мостов и несущих конструкций зданий и сооружений приводит к системам алгебраических уравнений высокого порядка, решение которых становится затруднительным даже с привлечением современных вычислительных машин.

В этой связи пути совершенствования МКЭ направлены как на уменьшение числа неизвестных ассемблированной системы, так и на совершенствование схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. Первое направление связано с обоснованием и построением схемы экономизации обобщенных узловых перемещении, основанной на сопоставлении энергий всей конструкции и уменьшенной системы с господствующим числом независимых степеней свободы. Оно приводит к исключению внутренних узлов в системе базисных конечных элементов и рассмотрению подструктур или суперэлементов. Второе направление включает разработку интерполяционных схем высоких порядков точности для базисных конечных элементов. Преимущество этого подхода заключается в улучшенной сходимости метода, обеспечении критериев совместности и полноты функций форм, а также в описании сложной конструкции меньшим числом конечных элементов.

Существенная экономия при расчете пространственных тонкостенных систем достигается путем введения пространственных конечных элементов и построения матрицы жесткости, основанной на сочетании вариационного метода Власова — Канторовича в матричной формулировке и МКЭ в классической постановке. Применительно к пространственным задачам предлагаемый метод является развитием метода полос в форме, предложенной H.Н. Леонтьевым для решения плоской задачи теории упругости и представляет дальнейшую дискретизацию МКЭ в форме Л.А. Розина и В.Г. Корнеева со специфическими координатными функциями.

В первой главе предлагаемой книги метод конечных элементов рассматривается применительно к расчету тонкостенных пространственных систем. Рассмотрены методы дискретизации тонкостенных пространственных систем и изложены основные вариационные принципы механики, используемые при расчете методом конечных элементов.

Рассмотрена идеализация произвольной континуальной среды дискретными элементами, дана вариационная формулировка уравнений метода конечных элементов в перемещениях и приведен вывод матрицы жесткости и вектора обобщенных узловых сил для произвольного конечного элемента с учетом влияния стационарного температурного поля и вектора дисторсии. Дан вывод основных соотношений МКЭ для тонкостенной пространственной системы, рекомендуемой для расчета широкого класса конструкций (крупнопанельных и объемно-блочных зданий, оболочек, складок, кессонов, призматических элементов, пролетных строений мостов и др.).

Вторая глава содержит вывод основных матриц метода перемещений для стержневых конечных элементов. В качестве системы аппроксимирующих функций, удовлетворяющих решению дифференциальных уравнений рассматриваемого тина конечных элементов, выбраны так называемые одномерные функции Эрмита, образующие единичную матрицу при удовлетворении граничных условий на концах (в узлах) конечного элемента.

Глава 3 посвящена теоретическим вопросам интерполяции обобщенных перемещений, применяемой в МКЭ и построению систем интерполяционных функций высоких порядков точности для различных типов конечных элементов.

Рассмотрены основные типы полиномиальных аппроксимаций в МКЭ и их свойства. Показаны основные критерии, которым должны удовлетворять интерполяционные полиномы для обеспечения совместности на межэлементных границах и полноты при уменьшении размеров конечного элемента.

На основе анализа симплексных моделей интерполяционных функций, нашедших широкое распространение в математической теории планирования эксперимента при исследованиях многокомпонентных систем и получении оптимальных экстраполяционных планов, получены функции форм, отвечающие симплексным решеткам высоких порядков (до четвертого включительно).

Преимущество такого подхода заключается в том, что не проводя утомительной процедуры обращения матриц связи неопределенных коэффициентов с вектором узловых перемещении, обычно используемой в МКЭ, можно непосредственно записать функцию формы для конечного элемента высокой степени точности.

Наряду с описанной выше интерполяционной схемой в данной главе рассмотрена техника интерполирования обобщенными многочленами, которые в частных случаях являются многочленами Лагранжа, Ньютона, Гаусса, Стирлинга и Бесселя, тригонометрическими полиномами, полиномами Эрмита и др. Рассмотрен также широкий класс ортогональных полиномов, основанных на частных случаях решения гипергеометрического уравнения. Он включает в себя ряд полиномов, наиболее употребительными среди которых являются полиномы Якоби, Гегенбауэра, Чебышева, Лежандра и Лагерра. Построены таблицы указанных полиномов и соответствующие семейства конечных элементов.

В четвертой главе иллюстрируется применение некоторых из рассмотренных интерполяционных полиномов высокого порядка при получении матриц жесткости и векторов узловых перемещении для треугольных и прямоугольных конечных элементов в условиях плоской задачи теории упругости.

Пятая глава содержит примеры расчета пространственных и плоских систем зданий и сооружений, которые иллюстрируют применение различных типов конечных элементов, рассмотренных в книге, для расчета широкого класса строительных конструкций.